Graphen von rationalen Funktionen: Nullstellen

Wir haben die Funktion f(x) = (2x² - 18) / g(x), bei der g(x) ein Polynom ist. Die Frage lautet: Welcher der folgenden ist ein möglicher Graph von y = f(x)? Wir haben vier Antwortmöglichkeiten. Pausiere das Video und versuche, die Aufgabe selbst zu lösen. Schau dir f(x) an und denk darüber nach, welcher dieser Graphen zu f(x) passen könnte. Jetzt machen wir das gemeinsam. Wir haben nicht viele Informationen. Wir wissen nichts über den Nenner dieses rationalen Ausdrucks. Wir kennen den Zähler. Es ist wie immer hilfreich, den Zähler in Faktoren zu zerlegen, und zu sehen, bei welchen x-Werten interessante Dinge passieren, insbesondere bei welchen x-Werten der Nenner gleich 0 ergibt. Wenn wir den Zähler hier in Faktoren zerlegen, könnten wir f(x) umschreiben. Wir können eine 2 aus dem Zähler ausklammern. Also haben wir 2(x² - 9). Und im Nenner haben wir g(x). Wir kennen den Nenner nicht, wir wissen nur, dass es sich um ein Polynom handelt. Im Zähler erkennst du vielleicht, dass (x² - 9) eine Differenz von Quadraten ist, also können wir das weiter in Faktoren zerlegen. Wir behalten die 2 und haben dann (x + 3)(x - 3). Wir kennen das bereits. Wenn du das nicht kennst, rate ich dir, das Video über Differenzen von Quadraten oder die Faktorisierung von Polynomen anzuschauen. (x² - 9) ist dasselbe wie (x² - 3²), also haben wir (x + 3)(x - 3). Und im Nenner steht immer noch g(x). Als erstes fragen wir uns, wann unser Zähler 0 ergibt. Er ergibt 0, wenn x = -3 oder x = 3 ist. Wenn x = -3 ist, dann wird dieser Ausdruck gleich 0. Wenn x = 3 ist, dann wird dieser Ausdruck gleich 0. Du denkst jetzt vielleicht, dass wir Nullstellen bei 3 oder -3 haben. Vielleicht ist f(-3) = 0, und vielleicht ist f(3) = 0. Diese Werte sehen so aus, als würden sie den Zähler gleich 0 werden lassen. Dann schauen wir uns unsere Antwortmöglichkeiten an und sehen, dass Antwort A eine Nullstelle bei 3 hat, aber keine bei -3. Sie hat eine vertikale Asymptote bei -3. Das ist also etwas verwirrend. Antwort B hat eine Nullstelle bei 3, aber nichts Interessantes bei -3. -3 ist definiert. Sie hat nicht einmal eine vertikale Asymptote an der Stelle. Das ist also auch etwas verwirrend. Antwort C hat eine hebbare Unstetigkeit bei 3, und eine vertikale Asymptote bei -2. Wir haben wieder nichts Interessantes bei x = -3. Immer noch etwas verwirrend. Und diese hier hat Nullstellen bei 6 und -6. Keine dieser Antworten hat Nullstellen bei x = 3 und x = -3. Was bedeutet das? Wir müssen verstehen, dass, nur weil etwas den Zähler 0 werden lässt, das nicht bedeutet, dass wir dort eine Nullstelle in dieser Funktion haben. Du fragst dich vielleicht, wie das sein kann. Denk über Situationen nach, in denen diese Werte auch den Nenner 0 werden lassen würden. Ich schreibe mal ein paar mögliche Funktionen auf. Wir wissen nur, dass g(x) ein Polynom ist. Wir kennen den Zähler: 2(x + 3)(x - 3). Sagen wir einfach mal, g(x) wäre z.B. x + 1. In diesem Fall würde keiner der Werte, die dafür sorgen, dass der Zähler gleich 0 wird, den Nenner gleich 0 werden lassen. Das wäre also eine Situation, in der wir zwei Nullstellen bei x = 3 und x = -3 hätten. Wir hätten also zwei Nullstellen. Schauen wir uns nun eine ähnliche Situation an, in der wir bei f(x) wieder unseren Zähler 2(x + 3)(x - 3) haben, und einer dieser x-Werte, also 3 oder -3, dafür sorgen würde, dass der Nenner gleich 0 wird. Nehmen wir einfach mal (x + 3)(x + 1). Da wir nun (x + 3) sowohl im Zähler als auch im Nenner haben, könnten wir (x + 3) durch (x + 3) dividieren, wodurch sie sich wegkürzen. Und hier wäre x = -3 eine hebbare Unstetigkeit. Wir hätten also eine Nullstelle bei x = 3, und eine hebbare Unstetigkeit bei x = -3. Wir sehen nun, dass diese Werte, die dafür sorgen, dass der Zähler 0 wird, für eine Nullstelle oder eine hebbare Unstetigkeit stehen können. Hier habe ich eine hebbare Unstetigkeit bei x = -3, es könnte aber auch andersherum, oder bei beiden Werten sein. Wenn wir (x + 3)(x - 3) / (x + 3)(x - 3) hätten, dann hätten wir eine hebbare Unstetigkeit an beiden Stellen: x = 3 und x = -3. Und du könntest sogar weitermachen. f(x) könnte auch 2(x + 3)(x - 3) / (x + 3)² (x + 1) sein. Was passiert dann? Selbst wenn du Zähler und Nenner durch (x + 3) dividierst, hast du immer noch ein (x + 3) im Nenner übrig. Ein (x + 3) lässt sich wegkürzen, aber eins bleibt immer noch übrig. In diesem Fall hättest du eine vertikale Asymptote. In diesem Fall hättest du eine Nullstelle bei x = 3. Und du hättest eine vertikale Asymptote bei x = -3. Diese Beispiele haben gezeigt, dass ein Wert, der den Zähler 0 werden lässt, nicht unbedingt eine Nullstelle der Funktion ist. Er könnte eine Nullstelle sein. Er könnte eine hebbare Unstetigkeit sein, oder eine vertikale Asymptote. Aber sie treten alle an den Stellen x = 3 und x = -3 auf. Schauen wir uns also nochmal die Antworten an. Antwort A hat eine Nullstelle bei x = 3, und eine vertikale Asymptote bei x = -3. Das würde also zu der Situation passen, die ich gerade beschrieben habe. Antwort A sieht also ziemlich gut aus. Antwort B hat eine Nullstelle bei x = 3, aber eine vertikale Asymptote bei x = 2, und nichts Interessantes bei x = -3. Wir können B also ausschließen. Antwort C hat eine hebbare Unstetigkeit bei x = 3, was absolut möglich ist. Wir haben die Situation gesehen, bei der etwas, das den Zähler gleich 0 werden lässt, eine hebbare Unstetigkeit sein könnte, wenn du denselben Ausdruck im Nenner hast. Aber die vertikale Asymptote ist nicht bei x = -3, sondern bei x = -2. Wir können C also ausschließen, da wieder nichts Interessantes an der Stelle x = -3 ist. Und hier haben wir zwei Nullstellen, die sich aber nicht bei x = 3 oder x = -3 befinden. Sie sind bei x = 6 und x = -6. Also können wir D ausschließen. Antwort A ist also richtig.