Graphen von rationalen Funktionen: y-Achsenabschnitt

Wir haben die Funktion f(x) = (ax^n + bx + 12) / (cx^m + dx + 12), bei der m und n ganze Zahlen, und a, b, c und d unbekannte Konstanten sind. Interessant. Welches der folgenden Bilder zeigt einen möglichen Graphen für y = f(x)? Die gestrichelten Linien stehen für Asymptoten. Wir haben vier Antwortmöglichkeiten. Ich ermutige dich wie immer, das Video zu pausieren und es selbst zu versuchen. Versuche herauszufinden, welche dieser Graphen der Graph für y = f(x) sein könnte, mit den Informationen, die uns für f(x) vorliegen. Jetzt lösen wir die Aufgabe gemeinsam. Das ist sehr interessant. Wir haben nicht viele Informationen. Wir wissen nicht einmal, welche Exponenten x hat. Wir kennen die Koeffizienten nicht. Wir wissen nur, dass hier eine 12 steht. Es scheint so, als sei diese 12 ein sehr guter Hinweis. Was sagt sie uns also? So wie die Funktion geschrieben ist, können wir keine Nullstellen herausfinden. Wir können nicht herausfinden, welche x-Werte den Zähler 0 werden lassen, oder welche x-Werte den Nenner 0 werden lassen. Es ist also schwierig, die Nullstellen der Funktion, die hebbaren Unstetigkeiten, oder die vertikalen Asymptoten herauszufinden. Aber diese 12 hilft uns weiter. Was passiert, wenn x = 0 ist? Wenn x = 0 ist, dann sind alle anderen Terme in diesem rationalen Ausdruck ebenfalls 0. Also können wir herausfinden, was f(0) ist. a ⋅ 0^n = 0. b ⋅ 0 = 0. Dann haben wir noch die 12. Im Nenner rechnen wir c ⋅ 0^m = 0. d ⋅ 0 = 0. Und dann haben wir hier unsere 12. Wir haben also herausgefunden, was f(0) ist. Es ist 12 / 12, also 1. Wir kennen also den y-Achsenabschnitt dieser Funktion. Mal sehen, ob das genug Information ist, um herauszufinden, welcher dieser Graphen y = f(x) abbildet. Mal sehen. Bei Antwortmöglichkeit A ist unser y-Achsenabschnitt 2. Wenn x = 0, dann schneidet unser Graph 2. Diese Möglichkeit können wir also ausschließen, da der y-Achsenabschnitt 1 sein muss. Möglichkeit B hat einen y-Achsenabschnitt, der so aussieht, als wäre er bei 1. Wenn x = 0, dann ist y = 1. Interessant. Möglichkeit C hat einen y-Achsenabschnitt von y = -1. Wir können sie also ausschließen. Und Möglichkeit D hat gar keinen y-Achsenabschnitt. Wir haben also genug Informationen. Was gut ist, da wir nur genug Informationen bekommen haben, um f(0) zu lösen. Wir konnten die Nullstellen, vertikalen Asymptoten oder hebbaren Unstetigkeiten nicht herausfinden. B ist also die richtige Lösung.