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Rationale Funktionen anhand von Asymptoten grafisch darstellen

Video-Transkript

Wir haben die Funktion f(x) = (3x² - 18x - 81) / (6x² - 54). In diesem Video möchte ich die Gleichungen für die horizontalen und vertikalen Asymptoten finden. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, und es selbst zu versuchen, bevor wir es gemeinsam machen. Ich nehme mal an, du hast es versucht. Wir denken jetzt über beide nach. Zuerst denken wir über die horizontale Asymptote nach, und schauen, ob es überhaupt eine gibt. Die horizontale Asymptote ist die horizontale Gerade, gegen die f(x) strebt, wenn der Absolutbetrag von x gegen ∞ strebt. Wir fragen uns also, gegen was f(x) strebt, wenn x gegen ∞ strebt, und gegen was f(x) strebt, wenn x gegen -∞ strebt. Es gibt mehrere Lösungswege. Ich schreibe die Definition von f(x) nochmal auf. (3x² - 18x - 81) / (6x² - 54). Es gibt zwei mögliche Ansätze. Einmal könnte man sagen, dass, wenn der Absolutbetrag von x immer größer wird, die Terme höchsten Grades im Zähler und Nenner dominieren werden. Welche Terme haben den höchsten Grad? Im Zähler haben wir 3x² und im Nenner haben wir 6x². Wenn der Absolutbetrag von x gegen ∞ strebt, werden diese beiden Terme dominieren. f(x) wird ungefähr 3x² / 6x² sein. Diese anderen Terme werden weniger wichtig. -54 wird natürlich überhaupt nicht ansteigen, und -18x wird sehr viel langsamer ansteigen als 3x². Die Terme höchsten Grades werden dominieren. Wenn du dir nur diese Terme anschaust, könntest du sie so vereinfachen. f(x) wird immer mehr zu 3/6 bzw. 1/2. Du kannst also sagen, dass es eine horizontale Asymptote an der Stelle y = 1/2 gibt. Es gibt noch einen weiteren Lösungsansatz, falls dir diese Methode, bei der diese beiden Terme dominieren, zu ungenau ist. Wir können Zähler und Nenner durch den Term höchsten Grades im Zähler und Nenner dividieren. Der Term höchsten Grades ist x². Wir dividieren also Zähler und Nenner durch den Term höchsten Grades im Zähler und Nenner: x². Wir multiplizieren also Zähler und Nenner jeweils mit 1/x². Wir ändern den Wert des gesamten Ausdrucks nicht, wir multiplizieren ihn nur mit 1, wenn wir annehmen, dass x ≠ 0 ist. Im Zähler rechnen wir 3x² / x² = 3. Dann haben wir noch - (18/x) - (81/x²). Im Nenner rechnen wir 6x² ⋅ 1/x² = 6. Und dann haben wir -54/x². Was wird passieren? Wenn du in Bezug auf Grenzwerte über etwas nachdenkst, das gegen ∞ strebt. Der Grenzwert also, wenn etwas gegen ∞ strebt. Was wird passieren? Das, das und das hier wird gegen 0 streben, also streben wir gegen 3/6 bzw. 1/2. Wenn du sagst, dass dieses x gegen -∞ strebt, wäre es dasselbe. Das, das und das hier strebt gegen 0, und wir streben wieder gegen 1/2. Das ist die horizontale Asymptote. y = 1/2. Jetzt denken wir über die vertikalen Asymptoten nach. Ich schreibe es hier drüben hin. Vertikale Asymptote oder möglicherweise Asymptoten. Vielleicht gibt es mehr als eine. Du denkst jetzt vielleicht, dass man immer dann eine vertikale Asymptote hat, wenn der Nenner gleich 0 ist, was dafür sorgen würde, dass dieser rationale Ausdruck nicht definiert wäre. Und in diesem Fall sehen wir, dass das nicht ganz stimmt. Einfach nur den Nenner alleine gleich 0 werden zu lassen macht noch keine vertikale Asymptote aus. Es ist definitiv eine Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist, aber das alleine ist noch keine vertikale Asymptote. Wir schauen uns jetzt Zähler und Nenner an, und klammern sie aus. Im Zähler ist eindeutig jeder Term durch 3 teilbar, also klammern wir eine 3 aus. Dann haben wir 3(x² - 6x - 27). Im Nenner ist jeder Term durch 6 teilbar. Also haben wir 6(x² - 9). Mal sehen, ob wir Zähler und Nenner weiter ausklammern können. Wir suchen zwei Zahlen, deren Produkt -27 ist, und deren Summe -6 ist. Die Zahlen sind -9 und 3. Wir haben also (x - 9)(x + 3). Wir haben also im Zähler ausgeklammert. Das hier ist die Differenz von Quadraten. Das wäre (x - 3)(x + 3). Wann wird der Nenner 0? Der Nenner wird 0, wenn x = 3 oder x = -3 ist. Ich ermutige dich, das Video kurz zu pausieren. Denk darüber nach, ob beide vertikale Asymptoten sind. Dir fällt vielleicht auf, dass der Zähler ebenfalls 0 wird, wenn x = -3 ist. Wir können das etwas vereinfachen, dann wird offensichtlicher, wo unsere vertikalen Asymptoten sind. Wir könnten Zähler und Nenner durch (x + 3) dividieren, aber wenn wir wollen, dass die Funktion identisch bleibt, müssen wir die Beschränkung behalten, dass die Funktion selbst nicht definiert ist, wenn x = -3 ist. Das würde dafür sorgen, dass wir durch 0 teilen. Wir müssen daran denken, aber das vereinfacht den Ausdruck. Wenn wir Zähler und Nenner durch (x + 3) teilen, haben wir (3(x - 9)) / (6(x - 3)), mit der Beschränkung, dass x ≠ -3 ist. Du siehst, dass diese Funktion identisch mit unserer ursprünglichen Funktion ist, und ich muss diese Beschränkung dazuschreiben, dass x ≠ -3 ist, weil unsere ursprüngliche Funktion bei x = -3 nicht definiert ist. x = -3 ist nicht Teil des Definitionsbereiches unserer ursprünglichen Funktion. Wenn wir also (x + 3) aus dem Zähler und Nenner herausnehmen, müssen wir daran denken. Wenn wir nur diesen Teil hinschreiben würden, wäre es nicht dieselbe Funktion, denn diese Funktion ohne die Beschränkung wäre für x = -3 definiert, wir wollen aber exakt dieselbe Funktion haben. Wir hätten eine Unstetigkeit an dem Punkt hier, und jetzt können wir über die vertikalen Asymptoten nachdenken. Jetzt ist die vertikale Asymptote ein Punkt, der den Nenner gleich 0 werden lässt, während der Zähler nicht gleich 0 wird. (x + 3) hat dazu geführt, dass beide gleich 0 sind. Unsere vertikale Asymptote ist an der Stelle x = 3. Das führt dazu, dass der Nenner gleich 0 wird, aber nicht der Nenner. Die vertikale Asymptote ist x = 3. Mit diesen Informationen, die wir gerade herausgefunden haben, können wir versuchen, den Graphen zu zeichnen. Das alleine reicht dafür nicht. Du solltest ein paar Punkte einsetzen, um zu sehen, was um die Asymptoten herum passiert, während wir uns den zwei verschiedenen Asymptoten nähern. Wir zeichnen kurz einen Graphen, damit es eindeutiger wird. Die Funktion sieht ungefähr so aus. Ich benutze keinen Maßstab. Das hier ist 1 und das hier ist 1/2. y = 1/2 ist die horizontale Asymptote. Und wir haben eine vertikale Asymptote bei x = 3. Wir haben also 1, 2, 3, wie gesagt, der Maßstab stimmt nicht, die x- und y-Werte haben nicht den gleichen Maßstab, aber wir haben eine vertikale Asymptote. Wenn wir uns das anschauen, wissen wir nicht genau, wie die Funktion aussieht. Sie könnte ungefähr so aussehen, oder vielleicht so, oder so, oder vielleicht so, oder auch so. Du verstehst, was ich meine. Um herauszufinden, wie sie verläuft, müsstest du ein paar Punkte ausprobieren. Wichtig ist, dass wir klarstellen, dass die Funktion bei x = -3 nicht definiert ist. Ich zeichne x = -3 kurz ein. 1, 2, 3. Wie gesagt, ich habe keine Punkte ausprobiert, aber die Funktion könnte so aussehen. Sie könnte so aussehen, sie ist bei x = -3 nicht definiert, und sie verläuft dann vielleicht so, oder so, oder vielleicht auch so. Sie ist für x = -3 nicht definiert, und das wäre dann eine Asymptote. Wir kommen immer näher, und sie könnte so verlaufen, oder ungefähr so. Um zu entscheiden, wie sie wirklich verläuft, müsstest du ein paar Werte ausprobieren. Ich ermutige dich, das nach diesem Video selbst auszuprobieren, und herauszufinden, wie der Graph wirklich aussieht.