Graphen von rationalen Funktionen (altes Beispiel)

Hier sind drei Funktionen abgebildet. Funktion f in pink. Funktion g in grün. Und Funktion h in gepunktetem lila. Und wir haben drei Ausdrücke, die mögliche Definitionen für f, g und h sein könnten. In diesem Video möchte ich die Funktion einer Definition zuordnen. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, und selbst darüber nachzudenken, bevor ich die Aufgabe durcharbeite. Es gibt mehrere Lösungsansätze. Wir könnten darüber nachdenken, wie die Graphen dieser Ausdrücke aussehen, und dann, welcher dieser Graphen dazu passt. Wir könnten aber auch den Graphen und seine vertikalen und horizontalen Asymptoten anschauen, und darüber nachdenken, welcher dieser Ausdrücke eine vertikale oder horizontale Asymptote an der Stelle hat. Ich wähle die zweite Methode. Ich schaue mir die Graphen an, da ich ein visueller Mensch bin. Ich beginne bei f. Graph f sieht so aus, als hätte er eine vertikale Asymptote bei x = -5. Jetzt überlegen wir, welcher dieser Ausdrücke eine vertikale Asymptote bei x = -5 haben könnte. Um eine vertikale Asymptote zu haben, darf diese Stelle nicht definiert sein. Und selbst wenn sie dort nicht definiert ist, müssen wir sichergehen, dass es eine wirkliche vertikale Asymptote ist, und nicht nur eine Unstetigkeit. Legen wir los. Dieser erste Ausdruck ist für x = -5 definiert. Er wäre nur dann nicht definiert, wenn wir irgendwie eine 0 im Nenner haben würden. Aber wenn wir -5 - 5 haben, ergibt das -10. Er ist also an dieser Stelle definiert und kann nicht f sein. Dieser Ausdruck ist ebenfalls für x = -5 definiert. Der Nenner wird nicht gleich 0, also handelt es sich nicht um f. Wenn x = -5 ist, wird bei diesem Ausdruck der Nenner 0. Das scheint also der beste Kandidat für f(x) zu sein. Jetzt bestätigen wir, dass das mit den anderen Dingen übereinstimmt, die wir hier drüben sehen. Schauen wir uns die horizontale Asymptote von f an. Wenn ich mir den Graphen anschaue, sieht es so aus, als gäbe es eine horizontale Asymptote. Besonders wenn x immer größer wird, sieht es so aus, als würde f(x) gegen 1 streben. f(x) strebt gegen 1. Ist das hier drüben auch der Fall? Wenn x gegen ∞ strebt, dann sind die -2 und +5 egal. Wenn x gegen ∞ strebt, erhalten wir bei sehr hohen x-Werten ungefähr x/x. Wir schauen uns die Terme höchsten Grades an. Das strebt also gegen 1, wenn x sehr, sehr groß wird. Die Subtraktion der 2 im Zähler, und die Addition von 5 im Nenner, zählen dann immer weniger, da x so riesig wird. Es strebt also gegen 1. Das scheint also zu stimmen. Gibt es noch etwas Interessantes? Wann ergibt das hier 0? Der Zähler wird 0, wenn x = 2 ist. Und wir sehen, dass das für f hier drüben der Fall ist. Ich bin mir also ziemlich sicher, dass das hier unser f(x) ist. Jetzt schauen wir uns g(x) an. h(x) und g(x) haben beide eine vertikale Asymptote bei x = 5. Die vertikale Asymptote hilft uns also nicht dabei, zwischen g und h zu unterscheiden. g und h haben beide eine vertikale Asymptote bei x = 5. Das siehst du hier drüben. Bei x = 5 sind beide nicht definiert. Wenn x = 5 ist, sind die Nenner von beiden 0. Schauen wir also, ob uns die horizontalen Asymptoten weiterhelfen. Es sieht also so aus, als hätte g eine horizontale Asymptote bei y = -2. Wenn x stark positiv oder negativ wird, sieht es so aus, als würde y gegen -2 streben. Was passiert beim obersten Ausdruck? Wenn wir den Zähler ausmultiplizieren, ergibt das (2x - 12) / (x - 5). Bei sehr großen x-Werten zählen die -12 und die -5 kaum noch. Für sehr große x-Werte ist das hier also ungefähr 2x / x. Ich mache es nochmal deutlich, dass es dafür gilt, wenn x gegen ∞ strebt. 2x / x ergibt ungefähr 2, wenn x gegen ∞ strebt. Die Asymptote von g ist nicht bei 2, sondern bei -2. Die Asymptote von h sieht so aus, als wäre sie bei y = 2. Dieser obere Ausdruck sieht so aus, als wäre er h(x). Wir können das bestätigen. Wann würde h(x) gleich 0 werden? Der Zähler ergibt 0, wenn x = 6 ist, und das sehen wir direkt hier drüben. Das hilft uns vielleicht nicht, weil g ebenfalls bei 6 gleich 0 ergibt, aber zumindest hilft uns die horizontale Asymptote weiter. Wenn x sehr, sehr groß wird, dann zählen die Subtraktion von 12 im Zähler, und von 5 im Nenner immer weniger. Wir schauen uns die Terme höchsten Grades an. Es strebt gegen 2x/2, was 2 ergibt. Das sehen wir bei h. Durch das Ausschlussverfahren müsste das hier g(x) sein. Ergibt das Sinn? g(x) = (12 - 2x) / (x - 5). Wir schauen uns die Terme höchsten Grades an, es ergibt also ungefähr -2x / x, wenn x gegen ∞ strebt. Wir streben also gegen -2. Und da ist tatsächlich die horizontale Asymptote von g. Wenn x sehr groß wird, streben wir gegen -2, wenn x sehr klein wird, streben wir auch gegen -2. -2 ⋅ (-1000000000) / (-1000000000) = -2. Es stimmt also, dass das g(x) ist.