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Grafische Darstellung rationaler Funktionen 3

Sal stellt y = (x ^ 2) / (x ^ 2-16) grafisch dar. Erstellt von Sal Khan und CK-12 Foundation

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Video-Transkript

In diesem Video wollen wir den Graphen einer rationalen Funktion darstellen. Eine rationale Funktion ist einfach nur eine Funktion, die einen Ausdruck im Zähler und im Nenner hat. Wir haben ein Polynom im Zähler: x², und ein weiteres Polynom im Nenner: (x² - 16). Wir könnten den Graphen natürlich zeichnen, indem wir ein paar Punkte einsetzen und sie verbinden. Das ist es, was ein Taschenrechner für uns macht. Bevor wir aber ein paar Punkte ausprobieren, um die Lücken zu füllen, will ich zuerst die grundlegende Struktur des Graphens verstehen. Um sie zu verstehen, will ich wissen, was passiert, wenn x stark positiv oder stark negativ ist. Anders formuliert: Ich will verstehen, was passiert, wenn der Absolutbetrag von x sehr groß wird, also gegen einen sehr hohen Wert bzw. ∞ strebt. Wenn die Größe von x also gegen ∞ strebt, wenn x also sehr stark in die positive oder negative Richtung geht, was passiert dann mit dem Wert dieser Funktion? Wir benutzen unseren Taschenrechner, um ein paar Werte auszuprobieren. Was passiert, wenn x = 10 ist? Es passiert genau dasselbe, wie wenn x = -10 ist, denn wenn du hier -10 einsetzt, dann quadrierst du, und erhältst 100, genauso wie bei 10. Genauso hier, du hast -10, quadrierst, und erhältst dasselbe wie bei 10. Also ist es egal, ob der Wert stark positiv oder stark negativ ist, wenn du gegen +∞ oder -∞ strebst, strebst du gegen denselben Wert, da du die Werte quadrierst. Jetzt probieren wir ein paar Werte aus. 10²/(10² - 16) = 1,19. Was passiert, wenn x etwas größer wird? Das hier ist x = 10. Was passiert, wenn x = 100 ist? Dann rechnen wir 100²/(100² - 16). Ich komme noch näher an die 1. Als x = 10 war, haben wir y = 1,19 erhalten. Bei x = 100 rechnen wir 100²/(100² - 16), und erhalten y = 1,0016. Lass uns 1000 ausprobieren. Wir rechnen 1000²/(1000² - 16). Und wir kommen noch näher an die 1. Je größer x also wird, desto näher kommt y der 1. Und das funktioniert auch mit -10, weil (-10)²/((-10)² - 16) genau dasselbe ergibt. Weil sich der negative Wert durch das Quadrieren in einen positiven verwandelt. Wir erhalten dasselbe Ergebnis wie bei 10². Also ist es egal, ob x sehr groß oder sehr klein wird, wir streben gegen y = 1. Du könnstest 1 Million ausprobieren, wenn du willst, und du wirst eine Zahl erhalten, die noch näher an 1 ist. Wenn x bzw. der Absolutbetrag von x also gegen ∞ strebt, dann strebt y gegen 1. Anders formuliert: Der Graph dieser Funktion strebt gegen die Gerade y = 1. Ich zeichne die Gerade y = 1. Ich verwende eine gepunktete Linie, da es nicht der Graph unserer Funktion ist, sondern eine Gerade, der sich unsere Funktion nähert. Das ist der Graph von y = 1. Der Graph unserer Funktion strebt gegen die Gerade, wird sie aber nie berühren. Sie kommt der Gerade y = 1 immer und immer näher, aber kommt nie nahe genug heran. Sie strebt gegen 0, ihre Distanz von y = 1, aber sie kommt nie an. Diese Gerade, gegen die der Graph strebt, nennt man Asymptote. Und es wird noch eindeutiger, sobald ich den Graphen der Funktion zeichne. Da es eine horizontale Gerade ist, nennen wir sie horizontale Asymptote. Unser Graph nähert sich dieser Asymptote, wenn wir in die positive oder negative Richtung gehen. Lass uns über weitere interessante Dinge dieser Funktion hier nachdenken. Dir fällt vielleicht auf, dass das hier eine Differenz von Quadraten ist. Das ist x² - 4². Wir können es also umschreiben: x²/(x + 4)(x -4). Was passiert hier also, wenn x gegen +4 oder -4 strebt? Probiere zuerst diese Werte aus. Was passiert, wenn x = 4 ist? Dieser Term hier wird gleich 0. Dadurch dividieren wir durch 0. Das können wir nicht. Genau dasselbe passiert, wenn x = -4 ist. Wir müssten durch 0 dividieren. Dieser Ausdruck hier ergibt dann 0. Und das geht nicht. Wir können also sagen, dass diese Funktion für x = ±4 nicht definiert ist. Diese Werte können nicht eingesetzt werden, da wir bei beiden durch 0 dividieren müssten. Was passiert jetzt, wenn wir uns diesen Werten nähern? Was passiert, wenn x gegen -4 strebt? Probieren wir es aus. Was passiert, wenn x gegen -4 strebt? Sagen wir mal, wir nähern uns aus der negativen Richtung. Wir benutzen unseren Taschenrechner. Sagen wir mal, wir nähern uns aus der negativen Richtung. Wir fangen bei -4,1 an. Wir rechnen (-4,1)²/((-4,1)² - 16). Welches Ergebnis erhalten wir? Wir erhalten 20,75. Wir erhalten also diese Zahl, okay. Schauen wir mal, ob wir noch näher an -4 kommen. Anstatt -4,1 setzen wir -4,01 ein. Unser Ergebnis ist ca. 200, also erhalten wir immer höhere Werte. Jetzt versuchen wir es mit -4,001. Unser Ergebnis ist ca. 2000. Wenn wir uns also immer mehr -4 aus der negativen Richtung nähern, streben wir gegen immer höhere Zahlen. Und wenn du z.B. 4,0000001 einsetzt, erhältst du als Ergebnis immer größere Zahlen. Wenn du 4,001 einsetzt, erhältst du wahrscheinlich 20.000. Je näher wir also kommen, desto größere Zahlen erhalten wir. Wenn x also gegen -4 strebt, strebt y gegen ∞. Wir erhalten immer größere Werte. Aber wir erhalten nie genau x = 4, da es dort nicht definiert ist, weil es dazu führt, dass der Nenner hier gleich 0 wird. Wir erhalten also niemals genau x = -4. Ich zeichne x = -4 als eine gepunktete Gerade ein. Das ist x = -4. Wir erreichen es nie ganz, aber als wir uns aus der negativen näherten, als wir 4,1 hatten und dann 4,01, haben wir immer größere Werte erhalten. Und wir wissen auch, als wir auf der linken Seite immer größere x-Werte hatten, y sich immer mehr 1 nähert. Wir haben also eine grobe Vorstellung davon, wie dieser Teil des Graphen aussehen wird. Dieser Teil des Graphen sieht ungefähr so aus. Wenn x immer negativer wird, nähert er sich immer mehr 1, wenn x sich aus der negativen Richtung -4 nähert, strebt er gegen ∞. Der Wert wird immer größer. Genauso wie bei x = -4, ist x = 4 ebenfalls ein Punkt, an dem der Graph nicht definiert ist. Ich zeichne ihn ein. Genau hier. x = 4. Was passiert, wenn wir uns x = 4 aus der positiven Richtung nähern? Es ist genauso, wie x = 4,01, x = 4,001 oder x = 4,0001 auszuprobieren. Wir nähern uns immer mehr x = 4. Diese Werte sind genau dieselben wie die, die wir mit dem Taschenrechner ausprobiert haben, nur dass sie die negative Version davon sind. Und wir haben bereits gesehen, dass in dieser Funktion negative Zahlen quadriert werden, es ist also egal, ob du negative oder positive x-Werte einsetzt: Du erhältst dasselbe Ergebnis. Dieser Graph ist symmetrisch. x = -5 ist dasselbe wie x = 5. x = -10 ist dasselbe wie x = 10. Also passiert dasselbe. Du kannst es mit deinem Taschenrechner ausprobieren, wenn du möchtest. Wenn du diese Werte ausprobierst, siehst du, dass, wenn wir uns 4 immer mehr nähern, wir immer größere Zahlen erhalten. Dieselben Zahlen wie hier drüben. Je näher wir also 4 kommen, desto größer sind also die Zahlen, denen wir uns nähern. Und hier, wenn x immer größer wird, hatten wir hier diese horizontalen Asymptoten, und y nähert sich immer mehr der 1. Genauso wie wir das hier als horizontale Asymptote bezeichnet haben, nennen wir diese vertikalen Geraden x = -4 und x = 4 vertikale Asymptoten. Sie sind Asymptoten, denen sich der Graph nähert, die er aber nie ganz berührt. Das passiert dort. Jetzt denken wir darüber nach, was hier drinnen mit dem Graphen passiert. Es gibt mehrere Ansätze. Du kannst dich fragen, was passiert, wenn x sich 4 aus der negativen Richtung nähert. Probieren wir es aus. Was erhalten wir, wenn wir 3,9²/((3,9)² - 16) rechnen? Wir erhalten -19,25. Was passiert, wenn wir 3,99 einsetzen? Ich hänge noch eine 9 dran. Wir nähern uns von der linken Seite immer mehr 4. Ich hänge noch eine 9 dran. Es ist noch negativer. Wir testen noch einen Wert, um noch negativer zu werden. Wir nehmen 3,999, um noch näher an die 4 zu kommen. Es wird noch negativer. Dasselbe passiert, wenn wir -3,9, -3,99 oder -3,999 einsetzen würden, da durch das Quadrieren die negativen und positiven Werte gleich werden. Du quadrierst -1 und erhältst 1. Je näher wir also der 4 kommen, desto negativer werden unsere Zahlen. Wir streben gegen -∞. Ich zeichne es ein. Wenn wir uns aus dieser Richtung nähern, sieht es ungefähr so aus. Wenn wir uns von der linken Seite nähern, erhalten wir immer kleinere Zahlen. Und das stimmt auch, wenn wir uns -4 von der rechten Seite aus nähern. Wenn wir -3,9, -3,99, -3,999 haben, fällt der Graph nach unten ab und sieht ungefähr so aus. Jetzt wo wir unseren Graphen grob kennen, sollten wir jetzt ein paar Punkte eintragen. Was passiert, wenn x = 0 ist? Wir rechnen 0²/(0² - 16). Wenn x = 0, haben wir also 0/-16 also einfach nur 0. Der Punkt (0|0) liegt also auf unserem Graphen. Wir könnten weitere Punkte ausprobieren, aber die grundlegende Form sieht ungefähr so aus. Du kannst mehr Punkte ausprobieren, wenn du exakt herausfinden willst, wie der Graph dazwischen verläuft, aber das hier ist die grundlegende Form. Und wir haben viele Werte mit dem Taschenrechner ausprobiert. Und das habe ich gemacht, weil ich dir zeigen wollte, warum der Graph so abfällt. Wenn du darüber nachdenkst, ergibt es Sinn. Je näher du der 4 kommst, desto kleiner wird diese Zahl hier, da das die Differenz zwischen x und 4 ist. Das wird also zu einer immer kleineren Zahl. Wenn du eine 1 im Zähler hast, du es also als x²/(x + 4) ⋅ 1/(x - 4) betrachtest, und das hier immer kleiner wird, dann wir dieser Term hier mit 1 im Zähler und einer sehr kleinen Zahl im Nenner eine sehr große Zahl. Du kannst dir also vorstellen, dass du immer größer wirst, und je nachdem, ob du dich von der positiven oder negativen Seite aus näherst, also ob das eine sehr kleine negative oder sehr kleine positive Zahl ist, das ändert das Vorzeichen. Wir erhalten auf jeden Fall einen sehr großen Wert in der negativen Richtung, da die Differenz zwischen x und 4 auf dieser Seite negativ ist. 3,9 - 4 = 0,1. Der Kehrwert davon ist 10. Wir erhalten hier also negative Zahlen. Wir nehmen den Kehrwert und erhalten sehr große negative Zahlen. Ich möchte dir das Gefühl dafür vermitteln. Aber wenn du allgemein diese Art von Funktionen zeichnen willst, solltest du zuerst die horizontalen Asymptoten identifizieren. Was passiert, wenn der Absolutbetrag von x sehr groß wird, wir also stark positive oder stark negative Werte haben? Du kannst es mit einem Taschenrechner ausprobieren. Wenn du 1 Million oder eine 1 Milliarde ausprobierst, erhältst du ein Ergebnis. Aber anders betrachtet: Wenn x sehr groß wird, wachsen diese Terme hier so viel schneller an. Das hier ist nur ein konstanter Term. Dieser Term ist nicht mehr so wichtig. Wenn das hier und das hier 1 Million ist, wen interessiert dann die 16? Wenn x also sehr groß wird, könntest du sagen, dass y ≈ x²/x² ist. Diese beiden Terme dominieren. Die 16 ist nicht mehr so wichtig. Und das ergibt natürlich 1, genau das, was wir beim Einsetzen von sehr großen Zahlen erhalten haben. In so einer Aufgabe, bei der du denselben Koeffizienten hast, oder denselben Grad in Zähler und Nenner hast, schaust du dir den Koeffizienten dieser Terme an. In diesem Fall sind die Koeffizienten beide 1. Unsere horizontale Asymptote ist also 1/1 bzw. y = 1. Wenn wir 2x²/(x² - 16) hätten, dann wäre unsere horizontale Asymptote y = 2. Wir würden uns dieser Gerade hier oben nähern. Wenn das hier -2 wäre, dann wäre unsere horizontale Asymptote y = -2. So identifiziert man horizontale Asymptoten, wenn man denselben Grad in Zähler und Nenner hat. Wenn der Nenner einen höheren Grad hat, dann wächst der Nenner sehr viel schneller an als der Zähler, und deine Asymptote ist 0. Ich zeige dir dafür später ein Beispiel. Und wenn dein Zähler einen höheren Grad als dein Nenner hat, wächst er natürlich viel schneller an als dein Nenner, und du hast gar keine Asymptote. Er wächst einfach immer weiter an, bzw. geht in die negative Richtung. Und das ist so bei allen Polynomen, die wir gesehen haben. Du kannst sie alle so betrachten, als hätten sie eine 1 im Nenner, denn es gab keine horizontale Asymptote. Die vertikalen Asymptoten identifizierst du, indem du den Nenner in Faktoren zerlegst, und herausfindest, wann er 0 ergibt. Denn das sind die Punkte, an denen die Funktion nicht definiert ist. Ich zeige dir ein anderes Mal ein paar Sonderfälle, in denen es sich nicht um vertikale Asymptoten handelt. Aber das zeige ich dir in einem späteren Video. Aber allgemein, wenn du die Terme im Nenner in Faktoren zerlegst, und sie sich nicht mit etwas im Zähler wegkürzen lassen, dann hast du eine vertikale Asymptote. Wenn mein Zähler x²(x - 4) wäre, dann würden diese beiden sich wegkürzen, das würde übrig bleiben und die Gleichung wäre immer noch bei x = 4 nicht definiert, da du die 0 im Nenner haben würdest. Aber da sich (x - 4) mit (x - 4) im Zähler wegkürzt, wäre es keine vertikale Asymptote. Wir schauen uns das später an. Aber bei dieser Gleichung war es nicht so. Wenn du also vertikale Asymptoten identifizieren willst, zerlegst du den Nenner in Faktoren, findest heraus, wann der Nenner gleich 0 ergibt, und wenn diese Terme sich nicht mit welchen im Zähler wegkürzen lassen, dann handelt es sich dabei um vertikale Asymptoten. Und um das Verhalten innerhalb der Asymptoten herauszufinden, kannst du ein paar Punkte einzeichnen. Du kannst Punkte ausprobieren. Du kannst Werte für x einsetzen und herausfinden, was y dann ergibt. Um zu überprüfen, dass wir die richtige Antwort haben, lassen wir unsere rationale Funktion zeichnen. Wir geben ein, dass y = x²/(x² - 16) ist. Mal sehen, was dabei herauskommt. Mein Bildbereich stimmt nicht. Ich ändere ihn. Mein Minimalwert für x soll -10 sein. Mein Maximalwert für x soll 10 sein. Der Maßstab für die x-Achse ist 1. Der Minimalwert für y soll -10 sein. Der Maximalwert für y soll 10 sein. Der Maßstab für die y-Achse soll 1 sein. Jetzt lasse ich den Graphen zeichnen. Da ist er. Sieh ihn dir an. Genau wie der, den wir gezeichnet haben. Wir haben eine Asymptote, die, wenn x sehr groß oder sehr klein wird, dann ist diese Asymptote y = 1. Wir haben unsere vertikale Asymptote. Der Taschenrechner wollte die Punkte verbinden und hat dadurch unsere Asymptoten gezeichnet, aber sie sind eigentlich kein Teil des Graphen. Aber wenn wir uns 4 von 0 aus nähern, erhalten wir stark negative Werte. Wenn wir uns -4 von 0 aus nähern, erhalten wir stark negative Werte. Denn in beiden Situationen, wenn wir uns 4 von dieser Seite aus nähern, dann ist dieser Term negativ. Wenn wir uns -4 von dieser Seite aus nähern, dann ist dieser Term hier positiv, aber dieser Term ist negativ. Ein negativer Wert multipliziert mit einem positiven, du kannst es ausprobieren. Aber wir streben in beiden Fällen gegen -∞. Und wenn x gegen ∞ strebt, strebt das hier gegen die Asymptote. Ich hoffe, es hat dir Spaß gemacht.