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Unstetigkeiten von rationalen Funktionen

Sal analysiert zwei rationale Funktionen, um ihre vertikalen Asymptoten und hebbare Unstetigkeiten zu finden. Er unterscheidet diese von den Nullstellen der Funktionen.

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Video-Transkript

Wir haben eine Funktion f(x), die durch einen rationalen Ausdruck definiert wird. Und wir sollen auswählen, bei welchen x-Werten f eine Nullstelle, eine vertikale Asymptote oder eine hebbare Unstetigkeit hat. Manchmal haben wir keine Antwortmöglichkeiten gegeben, also musst du die vertikalen Asymptoten, Nullstellen oder hebbaren Unstetigkeiten identifizieren können. Also klammere ich zuerst aus. Ich hoffe, dass ich sowohl Zähler als auch Nenner ausklammern kann, damit die Funktion hoffentlich etwas einfacher wird. Und wir denken darüber nach, welche x-Werte dafür sorgen, dass der Zähler und/oder der Nenner gleich 0 wird. Kann ich im Zähler ausklammern? Mal schauen. Wir suchen zwei Zahlen, deren Produkt -24 ist, und die addiert -2 ergeben. Diese Zahlen sind -6 und 4. Wir könnten also (x - 6)(x + 4) schreiben. Stimmt das? -6 ⋅ 4 = -24. -6x + 4x = -2x. Ja, das stimmt. Jetzt kommen wir zum Nenner. 6 ⋅ 4 = 24. 6 + 4 = 10. Wir können ihn also als (x + 6)(x + 4) schreiben. Zuerst schauen wir uns jetzt den Zähler an. Der Zähler wird gleich 0, wenn x = 6 oder x = -4 ist. Der Nenner wird gleich 0, wenn x = -6 oder x = -4 ist. Können wir das hier oben etwas vereinfachen? Und denk daran, was ich gerade aufgeschrieben habe. Du siehst vielleicht, dass wir ein (x + 4) / (x + 4) haben. Wir vereinfachen den Ausdruck also, und schreiben unseren ursprünglichen Ausdruck als (x - 6) / (x + 6). Wenn wir wollen, dass dieser Ausdruck algebraisch gleichwertig ist, müssen wir den Definitionsbereich so beschränken, dass x ≠ -4 ist. Das ist interessant, denn wenn wir vorher x = -4 gehabt hätten, hätten wir 0 durch 0 dividieren müssen. Wir haben es weggekürzt und konnten diese zusätzliche Beschränkung aufstellen. Und wenn du es als Graph darstellst, würde es als eine hebbare Unstetigkeit auftauchen. Eine kleine Unstetigkeit an einem einzigen Punkt, an dem die Funktion nicht definiert ist. In dieser Situation, die typisch ist, wenn du etwas ausklammern kannst, hat es dafür gesorgt, dass der Zähler und Nenner 0 werden, aber du kannst das ausklammern, damit das nicht mehr der Fall ist. Das ist also eine hebbare Unstetigkeit. x = -4 ist eine hebbare Unstetigkeit. Und sobald du all die Dinge ausgeklammert hast, die es zu einer hebbaren Unstetigkeit machen, kannst du darüber nachdenken, was eine Nullstelle und was eine vertikale Asymptote ist. Sobald du alles ausgeklammert hast, was der Zähler und Nenner gemeinsam haben, wenn dann etwas übrig bleibt, das dafür sorgt, dass der Zähler gleich 0 ist, dann sorgt es dafür, dass dieser ganze Ausdruck gleich 0 ist, also hast du es bei x = 6 mit einer Nullstelle zu tun. 6 sorgt dafür, dass der Zähler gleich Null ist. 6 - 6 = 0. Also hast du eine Nullstelle. Damit der Nenner gleich 0 wird, müsstest du x = -6 einsetzen. Das würde dafür sorgen, dass der Nenner gleich 0 ist, also ist das eine vertikale Asymptote. Man nennt sie vertikale Asymptote, denn sobald du dich dem Wert -6 von Werten näherst, die größer oder kleiner als -6 sind, wird der Nenner entweder eine sehr, sehr kleine positive Zahl, oder eine sehr, sehr kleine negative Zahl, also nähern wir uns der 0 entweder von oben oder von unten, wenn du also dadurch teilst, erhältst du sehr große positive Werte oder sehr große negative Werte. Deshalb sieht dein Graph so aus, und dadurch hast du eine vertikale Asymptote. Er sieht entweder so aus, oder ungefähr so, wo das hier deine vertikale Asymptote ist, und du dich von hier näherst, und es so nach oben geht. Deshalb hast du eine vertikale Asymptote. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Es funktioniert genauso wie zuvor. Pausiere das Video und versuche, die Aufgabe selbst zu lösen. Ich klammere aus. Ich suche zwei Zahlen, deren Produkt -32 ist. Sie haben zwei verschiedene Vorzeichen. 8 und 4. Und wir wollen, dass die größere positiv ist, da sie addiert 4x ergeben müssen. Also (x + 8)(x - 4). Das stimmt. Was haben wir im Nenner? 4 ⋅ 4 = 16. -4 + (-4) = -8. Wir haben also (x - 4)(x - 4). Das ist sehr interessant. Du denkst vielleicht, da du (x - 4) / (x - 4) hast, dass x = 4 eine hebbare Unstetigkeit ist. Und das wäre sie auch, wenn du das hier drüben nicht hättest. Denn selbst nachdem du ausgeklammert hast, ist die Funktion trotzdem nicht definiert, wenn x = 4 ist. Diese Funktion ist also gleichwertig zu (x + 8) / (x - 4). Ich muss keine zusätzliche Beschränkung aufstellen, so wie ich es vorher getan habe. Ich muss keine Beschränkung aufstellen, die diese hebbare Unstetigkeit beschreibt, da die Beschränkung immer noch da ist, nachdem ich ausgeklammert habe, nachdem sich diese beiden (x - 4) weggekürzt haben. Wir haben hier also einen Ausdruck, der mit dem hier drüben algebraisch gleichwertig ist. Jetzt können wir darüber nachdenken, welche Nullstellen oder vertikalen Asymptoten, oder hebbaren Unstetigkeiten wir haben. Eine Zahl, die den Zähler gleich 0 werden lässt, ohne dass der Nenner gleich 0 wird, ist eine Nullstelle. x = -8 sorgt dafür, dass der Zähler gleich 0 wird, ohne dass der Nenner gleich 0 wird. Der Nenner wird nämlich -12. Du könntest dir also h(-8) = 0/-12 anschauen, was 0 ergibt. Deshalb nennen wir es eine Nullstelle. Was ist mit x = 4? x = 4 sorgt dafür, dass nur der Nenner gleich 0 wird, also erhalten wir eine vertikale Asymptote. Wir sind fertig.