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Einführung in die direkte und umgekehrte Proportionalität

Video-Transkript

so reden wir mal ein bisschen über direkte und indirekte proportionalität wir machen hier direkte auf der linken und indirekt er auf der rechten seite dann später zunächst einmal würde eine simple definition von zwei variablen die sich proportional zueinander verhalten ungefähr so aus y ist gleich einer konstanten x iks und das würde dann auch deutsch übersetzt so viel heißen wie y verhält sich direkt proportional zur ex falls die jetzt diese konstante komisch vorkommen sollte keine sorge das ist einfach eine konstante die kann eigentlich so ziemlich jede zahl seien also das könnte ja zum beispiel jetzt oops i lon gleich ein exil gleich zwei xy gleich ein halbwegs y gleich - ein halbwegs also sie ist schon das kann so ziemlich jede mögliche zahl sein und jetzt damit wird das ganze etwas anschaubar machen was das alles bedeutet nehmen wir mal zwei beispiele ein positives und negatives damit wir mal sehen warum sich diese variablen proportional zueinander verhalten nehmen wir für diese beispiel x y ist gleich 26 oder nehmen wir mal gleich ein paar werte sodass wir mal sehen wie die sich proportional zueinander verhalten jetzt nehmen wir ganz einfach ein paar werte für ickx und sehen was am ende für y rauskommen muss also wenn nix gleich eins ist damit zweimal 126 dann wiederum 2 ist da ist zwei mal zwei gleich vier und an dieser stelle sehen wir direkt das wenn die iks verdoppeln ndx x cite hier genauso auf der anderen seite y x 2 nehmen und genau das bedeutet es wenn sich etwas proportional zueinander verhält wenn sich ex um einen bestimmten wert vergrößert dann vergrößert sich auch y bestimmten wert wenn sich ex um einen bestimmten wert fällt kleiner dann verkleinert sich auch y meinen bestimmten wert und damit zu zeigen dass es eigentlich mit allen beispielen funktioniert dann nehmen wir einfach mal y gleich vielleicht - zwei xy gleich - 2 hier ist es jetzt so wenn ich gleich 1 s dann ist absolut gleich - zwei mal 1 gleich - 26 gleich zwei ist dann ist sondern gleich - zwei mal zwei gleich - 4 also du siehst hier ist es ziemlich dasselbe wenn man von eins auf zwei geht dann muss man mal zwei nehmen genauso vor wie man von minus 2 auf minus 4 kommt da muss man genauso x 2 min also haben wir beide seiten mit demselben faktor multipliziert und wenn man sind die andere richtung gehen wollen wird und für iks zum beispiel ein halb einsetzen würde dann würde für y dann auf der anderen seite y das gleiche - zwei mal eineinhalb kommt - 1 haus beachtet dann dies dass wenn man hier auf der seite von 1 auf ein halb kommende mann durch zwei teilen muss genauso muss man auf der y seite wenn man von -2 auf -1 kommen wir genauso durch zwei teilen also siehst schon egal in welche richtung man sich mit ex bewegt genau an die selbe richtung muss man sich dann in demselben verhältnis bei y bewegen das ist es was bedeutet wenn sich variablen proportional zueinander verhalten dies stellt sich jetzt nicht immer so klar da wir jetzt hier manchmal können diese gleichungen auch etwas verwirrt diese gleichung mit dem -2 zum beispiel könnte man jetzt so schreiben könnte man es aber auch zum beispiel mathematische manipulieren man könnte jetzt zum beispiel beide seiten durch ex teilen und dann würde man mich hier oops i lon durch gleich - zwei break- und man könnte jetzt diese gleichung durch y teilen und man würde dann bekommen 1 durch xs gleich - zwei mal 1 durch y und ganz wichtig diese drei gleichungen bedeuten alle dasselbe manchmal ist es halt so dass die proportionalität nicht direkt einem ins gesicht springt aber wenn man mit diesen drei gleichung genau das hier macht dann wird es klar oder man kann auch die gleichung genau wieder zurück manipulieren so dass man am ende wieder das bekommt so viel land so direkter proportionalität und dann gehen wir mal darüber zu indirekter proportionalität bei der indirekten proportionalität verhält es sich ähnlich wie bei der direkten proportionalität nur mit einem unterschied schreiben wir uns erstmal die generelle frau auf die lautet y ist gleich eine konstante x 1 durch fixe das würde so viel bedeuten wie y verhält sich anti proportional zu ex also nicht mehr wie bei der direkten proportional zu iks sondern die proportional swyx und was das bedeutet dass ihnen wir gleich an einem beispiel bei der konstanten verhält es sich wieder wie bei der direkten proportionalität das kann eigentlich egal es war sein wie bei diesem beispiel exelon ist gleich 1 durch y ist gleich zwei mal 1 durch iks was dasselbe ist wie zwei durch xy ist gleich ein drittel x 1 durch xss selber wäre wie einst durch dreiecks und jetzt schauen wir uns mal an wie sich die gleichungen bei der indirekten proportionalität verhalten genau auf dieselbe weise wie bei der direkten proportionalität dazu nehmen wir einfach mal für weil ich hier absolut gleich zwei durch xy gleich zwei durch kicks und dann zeichnen wir uns hier genauso eine tabelle 1 dann habe ich hier meine experte und hier meine y berta und so ist es dann wenn nix gleich eins ist dann ist rang zwei durch 1 gleich zwei wenn es gleich zwei ist dann ist eps von 2 durch zwei gleich eins also was passiert dann hier wenn man nix durch den wert x 2 vergrößert y wird um denselben faktor verkleinert also es wird durch zwei geteilt bemerkt den unterschied wenn man hier bei der direkten ex um einen wert mal genommen hat dann muss man auch y durch diesen wert mal nehmen hier bei der indirekten wenn man nix mit einem wert vergrößert mit einem wert mal nimmt dann muss man durch diesen wert teil also genau umgekehrt und genau so ist es hier wenn man es gleich eine halb setzen würde also man umgekehrt gehen würde wenn man hier iks durch zwei teilen würde dann müsste man sich hier auf der anderen seite y x 2 was dann bei 4 rauskommen würde und genau das bedeutet es wenn sich die variablen anti proportional zueinander verhalten und wieder muss man sagen dass genau so wie hier es auch hier nicht immer so schön sauber aufgeschrieben als bei dieser gleich man könnte diese gleichung genauso auf verschiedene weisen umformen zum beispiel könnte man hier beide seiten x iks nein man bekäme dann x-mal y ist gleich zwei und es wäre genauso indirekte proportionalität man würde genauso dasselbe ich hier raus bekommen man könnte dies dann wiederum durch y teilen dann würde man herausbekommen fix ist gleich zwei oops i lon 2 durch y fast dasselbe wäre wie zweimal 1 durch y hier sieht man dann dass man nach ex auflösen kann und sich dann fix sozusagen anti proportional zu y verhält hat sich y anti professionals verhalten und man hat es sehr mathematisch so umgeformt dass es komplett umgedreht wurde und dann konnte man noch verschiedene andere sachen machen man könnte diese gleichung nehmen und durch zwei teilen dann wenn man hier raus bekommen y durch zwei ist gleich 1 durch fixe also wie gesagt man könnte verschiedene verrückte sachen machen und generell wenn du eine aufgabenstellung bekommst mit einem ausdruck der sich auf variable bezieht und du herausfinden muss ob es sich um direkte proportionalität handelt oder um indirekte proportionalität handelt oder vielleicht um keines von beiden dann kannst du verschiedene sachen machen du könntest zum beispiel eine tabelle wie hier machen und dann prüfen wenn nix mit einem wert multipliziert wird und y mit dem zelt wert multipliziert wird dann ist es direkte port portion ali t und wenn man sich hier um einen wert vergrößert und sich y um denselben wert verkleinert dann ist es in die rechte proportionalität aber die sicherste methode um das herauszufinden wäre erst diese gleichung wieder mathematisch umzuformen und dann wieder auf diese gleichung zuzukommen was dann indirekt proportional ziert wäre oder aber auch auf diese gleichung zu kommen was dann direkt proportional tat wäre