Lösen von Quadratwurzelgleichungen: zwei Lösungen

Wir haben die Gleichung 6 + 3w = √(2w + 12) + 2w. Pausiere das Video und versuche, nach w aufzulösen. Denk daran, dass es sein kann, dass du mehr als eine Lösung erhältst. Okay, lass es uns zusammen lösen. Zuerst isoliere ich bei Wurzelgleichungen die Wurzel auf einer Seite der Gleichung. Also subtrahiere ich 2w von beiden Seiten. Ich will dadurch die 2w rechts loswerden. Ich will nur noch die Wurzel dort haben. Was erhalte ich, wenn ich 2w von beiden Seiten subtrahiere? Links steht 6 + 3w - 2w. Wenn ich von etwas 3 habe und dann 2 davon wegnehme, bleibt nur noch w übrig. 6 + w = √(2w + 12). Um das Wurzelzeichen loszuwerden, quadrieren wir beide Seiten. Wir haben bereits gesehen, dass dieser Prozess hier etwas schwierig ist, denn wenn du eine Wurzel in einer solchen Wurzelgleichung quadrierst, und dann auflöst, erhältst du vielleicht eine irrelevante Lösung. Was meine ich damit? Wir erhalten dasselbe Ergebnis, egal, ob wir das hier oder das quadrieren, da du beim Quadrieren eines negativen Terms einen positiven erhältst. Aber das sind zwei fundamental unterschiedliche Gleichungen. Wir wollen nur die Lösung, die die Gleichung erfüllt, die dort kein Minuszeichen stehen hat. Deshalb überprüfen wir unsere Ergebnisse, um sicherzustellen, dass sie für unsere ursprüngliche Gleichung gültig sind. Wenn wir also beide Seiten quadrieren, erhalten wir links w², wir addieren das Produkt der beiden Terme zweimal, 2 ⋅ 6 ⋅ w = 12w, +6², was 36 ist. Was ergibt das? Wenn du die Quadratwurzel quadrierst, bleibt 2w + 12 übrig. Jetzt subtrahieren wir 2w und 12 von beiden Seiten. Dadurch bringen wir die Gleichung in die quadratische Standardform. Wir subtrahieren also 2w von beiden Seiten, und wir subtrahieren 12 von beiden Seiten. Ich möchte diese Terme rechts loswerden, und links haben wir dann w², 12w - 2w = 10w. 36 - 12 = 24. Das alles ist gleich 0. Um das zu lösen, fragen wir uns, ob es faktorisierbar ist. Gibt es zwei Zahlen, die addiert 10 ergeben, und multipliziert 24? Mir fallen 6 und 4 ein. Ich forme es also in (w + 4) (w + 6) = 0 um. Wenn das Produkt von zwei Dingen gleich 0 ist, muss eins oder mehrere davon gleich 0 sein. 0 multipliziert mit irgendwas ergibt 0. w + 4 = 0 oder w + 6 = 0. Wenn du hier 4 von beiden Seiten subtrahierst, erhältst du w = -4. Wenn du hier 6 von beiden Seiten subtrahierst, erhältst du w = -6. Jetzt überprüfen wir, ob sie tatsächlich Lösungen unserer ursprünglichen Gleichung sind. Unsere ursprüngliche Gleichung lautete: 6 + 3w = √(2w + 12) + 2w. Wenn wir für w jetzt -4 einsetzen, haben wir 6 + 3 ⋅ (-4) = √(2 ⋅ (-4) + 12) + 2 ⋅ (-4). Das hier ergibt -12. Das ergibt -8. Das ergibt ebenfalls -8. WIr haben also 6 + (-12), was -6 ergibt, und das ist gleich √(-8 + 12), was √4 ergibt, + (-8). Unser Ergebnis ist also -6 = 2 + (-8), was absolut stimmt. Es ist also definitiv eine Lösung. Versuchen wir jetzt, -6 für w einzusetzen. Wir haben 6 + 3 ⋅ (-6) = √(2 ⋅ (-6) + 12) + 2 ⋅ (-6). Das ergibt -18. Das ergibt -12. -12 + 12 = 0. Die Quadratwurzel von 0 ist immer 0. Hier sollte natürlich 2 ⋅ (-6) stehen. Das hier drüben ist -18. Das hier ist 2 ⋅ (-6) + 12. Das ergibt alles 0. √0 = 0. Und das ist -12. Wir haben also 6 + (-18), was -12 ergibt, und rechts haben wir 0 + (-12), also -12. Das stimmt. Das sind also beides Lösungen unserer ursprünglichen Wurzelgleichung.