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Lösen von Quadratwurzelgleichungen: keine Lösung

Sal löst die Gleichung √(3x-7) +√(2x-1) = 0, und findet heraus, dass die einzige Lösung eine Scheinlösung ist, was bedeutet, dass die Gleichung keine Lösung hat.

Video-Transkript

Wir haben die Wurzelgleichung √(3x - 7) + √(2x - 1) = 0. Pausiere das Video, und versuche nach x aufzulösen, bevor wir es zusammen durchgehen. Als erstes isolieren wir die Wurzeln, so dass auf jeder Seite eine steht. Wir subtrahieren also diese Wurzel von beiden Seiten, damit sie auf der rechten Seite steht. Ich subtrahiere sie sowohl von links, als auch von rechts. Auf der linken Seite fällt diese Wurzel weg, also bleibt nur noch √(3x - 7) dort stehen. Und auf der rechten Seite steht -√(2x - 1). Jetzt können wir beide Seiten quadrieren. Dabei müssen wir immer vorsichtig sein, denn egal, ob wir die positive oder die negative Quadratwurzel quadrieren, wir erhalten denselben Wert. Die Lösung, die wir erhalten, könnte die Version sein, die wir bekommen, wenn wir die positive Quadratwurzel auflösen, und nicht die Lösung für die negative Wurzel. Deswegen müssen wir unsere Lösungen am Ende überprüfen, um sicherzustellen, dass sie für unsere ursprüngliche Gleichung gültig sind. Wenn wir beide Seiten quadrieren, erhalten wir links 3x - 7, und rechts quadrieren wir etwas Negatives, wodurch es positiv wird, und aus (-√(2x - 1))² wird 2x - 1. Wir können 2x von beiden Seiten subtrahieren, um all unsere x-Terme auf eine Seite zu bekommen. Ich möchte diesen Term loswerden. Und wir können 7 zu beiden Seiten addieren, da ich die -7 loswerden will. Wir addieren also 7 zu beiden Seiten. Wir rechnen 3x - 2x, was x ergibt, rechts rechnen wir -1 + 7. x = 6. Jetzt überprüfen wir, ob das auch funktioniert. Wir setzen es in unsere ursprüngliche Gleichung ein: √(3 ⋅ 6 - 7) + √(2 ⋅ 6 - 1). Sie soll 0 ergeben. Funktioniert das? 3 ⋅ 6 - 7. √11 + √11 muss 0 ergeben, und das tut es offensichtlich nicht. Das sind 2√11, was nicht gleich 0 ist. Es funktioniert also nicht und du fragst dich vielleicht, wie das passiert ist. Wir haben all diese Algebra angewandt, keine Fehler gemacht, aber ein Ergebnis erhalten, das nicht funktioniert. Es handelt sich um eine irrelevante Lösung. Warum ist sie eine irrelevante Lösung? Da sie eigentlich die Lösung der Gleichung √(3x - 7) - √(2x - 1) = 0 ist. Wenn es die Lösung dafür ist, wie habe ich sie dann erhalten, während ich hier algebraische Schritte durchgeführt habe? Wenn wir diesen Term nach rechts bringen und quadrieren, kommen wir immer bei dieser Gleichung an, egal, wo wir angefangen haben. Diese Lösung hier ist also die Lösung für diesen Ausgangspunkt, und nicht für den, bei dem wir angefangen haben. Diese Gleichung hat also keine Lösung. Und es macht Spaß, darüber nachzudenken, warum das so ist. Wir haben gezeigt, dass die einzige Lösung, die du durch algebraische Schritte erhalten hast, irrelevant ist. Es ist eine Lösung einer anderen Gleichung, die einen gemeinsamen Zwischenschritt hat. Aber es macht Spaß, darüber nachzudenken, warum das hier drüben unmöglich ist.