Lösen von Quadratwurzelgleichungen: eine Lösung

Wir sollen die Gleichung 3 + √(5x + 6) = 12 lösen. Die allgemeine Strategie beim Lösen dieser Art von Gleichung ist, das Wurzelzeichen auf einer Seite der Gleichung zu isolieren, und es dann durch Quadrierung aufzulösen. Du musst aber sehr vorsichtig sein, denn wenn du Wurzelzeichen quadrierst, verlierst du dabei die Information, dass du die traditionelle Quadratwurzel ziehst. Nicht die negative Quadratwurzel, und auch nicht die + oder - Quadratwurzel. Du ziehst nur die positive Quadratwurzel. Wenn wir also unsere endgültige Lösung haben, müssen wir überprüfen, dass sie mit dem Ziehen der traditionellen Quadratwurzel übereinstimmt. Versuchen wir es. Schauen wir uns an, was ich meine. Zuerst möchte ich das auf einer Seite der Gleichung isolieren. Das machen wir am besten, indem wir die 3 loswerden. Und die beste Art, die 3 loszuwerden, ist, sie links zu subtrahieren. Wenn ich das links mache, muss ich es natürlich auch auf der rechten Seite. Sonst könnte ich nicht mehr sagen, dass sie gleichwertig sind. Auf der linken Seite steht jetzt √(5x + 6). Und das ergibt 12 - 3. Also 9. Jetzt können wir beide Seiten der Gleichung quadrieren. Wir quadrieren √(5x + 6) und wir quadrieren 9. Wenn du √(5x + 6) quadrierst, erhältst du 5x + 6. Und hier haben wir Informationen verloren, da wir es auch erhalten hätten, wenn wir die negative Quadratwurzel von 5x + 6 quadriert hätten. Deswegen müssen wir mit den Lösungen, die wir bekommen, aufpassen, und überprüfen, ob sie tatsächlich stimmen, wenn die ursprüngliche Gleichung die traditionelle Quadratwurzel war. Links erhalten wir also 5x + 6. Und rechts erhalten wir 81. Und jetzt haben wir eine einfache Gleichung. Wir wollen die x-Terme isolieren. Wir subtrahieren also 6 von beiden Seiten. Links haben wir jetzt 5x und rechts haben wir 75. Jetzt können wir beide Seiten durch 5 dividieren. Was erhalten wir? 5 ⋅ 10 = 50. 5 ⋅ 5 = 25, also insgesamt 75. Wir erhalten also x = 15, aber wir müssen überprüfen, ob das mit unserer ursprünglichen Gleichung funktioniert. Vielleicht hätte es mit der negativen Quadratwurzel funktioniert. Wir müssen also überprüfen, dass es mit der traditionellen, positiven Quadratwurzel funktioniert. Wenden wir das also auf unsere ursprüngliche Gleichung an. Wir erhalten 3 + √(75 + 6). Ich habe einfach nur 5 ⋅ 15 gerechnet, ich habe unsere Lösung eingesetzt. Es sollte 12 ergeben. Wir haben also 3 + √81 = 12. Die traditionelle Wurzel von 81 ist 9. Also muss 3 + 9 = 12 sein, was absolut stimmt. Also wissen wir, dass diese Lösung stimmt.