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Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 5

Lektion 1: Lösen von Quadratwurzelgleichungen

Einführung in Quadratwurzelgleichungen und Scheinlösungen
Einführung in die Lösung von Gleichungen mit Quadratwurzeln
Quadratwurzel-Gleichungen - Einführung
Lösen von Quadratwurzelgleichungen
Lösen von Quadratwurzelgleichungen: eine Lösung
Lösen von Quadratwurzelgleichungen: zwei Lösungen
Lösen von Quadratwurzelgleichungen: keine Lösung
Exponentialgleichungen mit Quadratwurzeln

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Lösen von Quadratwurzelgleichungen

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Lösen von Quadratwurzelgleichungen

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Mache einige Übungsaufgaben, bevor Du an die richtigen Aufgaben gehst.

Einführung

In diesem Artikel werden wir mehr Quadratwurzel-Gleichungen lösen. Sie unterscheiden sich ein wenig von den Gleichungen, die du zuvor gelöst hast: Du benötigst mehr Anstrengung zum Lösen und die Aufgaben sind schwieriger mit Scheinlösungen.

Dann solltest du unbedingt unsere grundlegende Übung zuerst ausprobieren. Du kannst auch eine grundlegende Übungsaufgabe hier finden.

Übungsfrage 1: Den Wurzelterm isolieren

Löse die Gleichung nach $x$ ‍.

\sqrt{2 x - 7} - 3 = 4

‍

x =

‍

Deine Lösung sollte sein
eine ganze Zahl wie $6$ ‍
ein gekürzter echter Bruch wie $3 / 5$ ‍
ein gekürzter unechter Bruch wie $7 / 4$ ‍
eine gemischte Zahl wie $1 3 / 4$ ‍
eine genaue Dezimalzahl wie $0, 75$ ‍
ein Vielfaches von Pi wie $12 Pi$ ‍ oder $2 / 3 Pi$ ‍

Schritt 1: Isoliere den Wurzelterm.

Bevor wir beide Seiten quadrieren, müssen wir den Wurzelterm isolieren.

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} - 3 & = 4 \\ \sqrt{2 x - 7} & = 7 \end{aligned}$ ‍

Schritt 2: Beide Seiten quadrieren.

Jetzt, da wir den Wurzelterm isoliert haben, können wir beide Seiten quadrieren, um die Wurzel zu eliminieren:

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} & = 7 \\ {(\sqrt{2 x - 7})}^{2} & = (7)^{2} \\ 2 x - 7 & = 49 \\ 2 x & = 56 \\ x & = 28 \end{aligned}$ ‍

Schritt 3: Auf Scheinlösungen prüfen.

Die ursprüngliche Gleichung lautet

\sqrt{2 x - 7} - 3 = 4

‍.

Für

x = 28

‍, erhalten wir:

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} - 3 & = 4 \\ \sqrt{2 (28) - 7} - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ \sqrt{49} - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ 7 - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ 4 & = 4 \end{aligned}$ ‍

Daher ist

x = 28

‍ in der Tat eine Lösung.

Übungsfrage 2: Zwei mögliche Lösungen

Was sind die Lösungen der folgenden Gleichung?

6 + 3 x = \sqrt{2 x + 12} + 2 x

‍

Wähle alle zutreffenden Lösungen:

(Auswahl A)
$x = 0$ ‍
(Auswahl B)
$x = - 4$ ‍
(Auswahl C)
$x = 4$ ‍
(Auswahl D)
$x = - 6$ ‍
(Auswahl E)
$x = 1$ ‍

Schritt 1: Isoliere den Wurzelterm.

Bevor wir beide Seiten quadrieren, müssen wir den Wurzelterm isolieren.

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + x & = \sqrt{2 x + 12} \end{aligned}$ ‍

Schritt 2: Beide Seiten quadrieren.

Jetzt, da wir den Wurzelterm isoliert haben, können wir beide Seiten quadrieren, um die Wurzel zu eliminieren:

$\begin{aligned} 6 + x & = \sqrt{2 x + 12} \\ {(6 + x)}^{2} & = {(\sqrt{2 x + 12})}^{2} \\ 36 + 12 x + x^{2} & = 2 x + 12 \\ x^{2} + 10 x + 24 & = 0 \\ (x + 6) (x + 4) & = 0 \end{aligned}$ ‍

Wir haben zwei mögliche Lösungen gefunden:

x = - 6

‍ und

x = - 4

‍.

Schritt 3: Auf Scheinlösungen prüfen.

Die ursprüngliche Gleichung lautet

6 + 3 x = \sqrt{2 x + 12} + 2 x

‍.

Für

x = - 6

‍, erhalten wir:

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + 3 (- 6) & \overset{?}{=} \sqrt{2 (- 6) + 12} + 2 (- 6) \\ - 12 & \overset{?}{=} \sqrt{0} - 12 \\ - 12 & \overset{?}{=} 0 - 12 \\ - 12 & = - 12 \end{aligned}$ ‍

Daher ist

x = - 6

‍ ist in der Tat eine Lösung.

Für

x = - 4

‍, erhalten wir:

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + 3 (- 4) & \overset{?}{=} \sqrt{2 (- 4) + 12} + 2 (- 4) \\ - 6 & \overset{?}{=} \sqrt{4} - 8 \\ - 6 & \overset{?}{=} 2 - 8 \\ - 6 & = - 6 \end{aligned}$ ‍

Also ist

x = - 4

‍ auch eine Lösung!

Schlussfolgerung

Wir haben festgestellt, dass diese Gleichung zwei Lösungen hat! Sowohl

x = - 6

‍ als auch

x = - 4

‍ sind Lösungen der Gleichung.

Übungsaufgabe 3

Was sind die Lösungen der folgenden Gleichung?

\sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x = 5 + x

‍

Wähle alle zutreffenden Lösungen:

(Auswahl A)
$x = 0$ ‍
(Auswahl B)
$x = - 5$ ‍
(Auswahl C)
$x = 1$ ‍
(Auswahl D)
$x = - \frac{5}{2}$ ‍
(Auswahl E)
Keine der oben genannten

Schritt 1: Isoliere den Wurzelterm.

Bevor wir beide Seiten quadrieren, müssen wir den Wurzelterm isolieren.

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 x^{2} + 15 x} & = 5 + 3 x \end{aligned}$ ‍

Schritt 2: Beide Seiten quadrieren.

Jetzt, da wir den Wurzelterm isoliert haben, können wir beide Seiten quadrieren, um die Wurzel zu eliminieren:

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} & = 5 + 3 x \\ {(\sqrt{7 x^{2} + 15 x})}^{2} & = {(5 + 3 x)}^{2} \\ 7 x^{2} + 15 x & = 25 + 30 x + 9 x^{2} \\ 0 & = 2 x^{2} + 15 x + 25 \\ 0 & = (2 x + 5) (x + 5) \end{aligned}$ ‍

Wir haben zwei mögliche Lösungen gefunden:

x = - 5

‍ und

x = - \frac{5}{2}

‍.

Schritt 3: Auf Scheinlösungen prüfen.

Die ursprüngliche Gleichung lautet

\sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x = 5 + x

‍.

Wenn

x = - 5

‍, erhalten wir:

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 {(- 5)}^{2} + 15 (- 5)} - 2 (- 5) & \overset{?}{=} 5 + (- 5) \\ \sqrt{100} + 10 & \overset{?}{=} 0 \\ 10 + 10 & \overset{?}{=} 0 \\ 20 & \neq 0 \end{aligned}$ ‍

Also ist

x = - 5

‍ keine Lösung.

Für

x = - \frac{5}{2}

‍ erhalten wir:

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 15 (- \frac{5}{2})} - 2 (- \frac{5}{2}) & \overset{?}{=} 5 + (- \frac{5}{2}) \\ \sqrt{\frac{175}{4} - \frac{75}{2}} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \sqrt{\frac{25}{4}} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \frac{15}{2} & \neq \frac{5}{2} \end{aligned}$ ‍

Daher ist

x = - \frac{5}{2}

‍ auch keine Lösung.

Schlussfolgerung

Wir haben festgestellt, dass diese Gleichung keine Lösungen hat.

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