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Graphen von Quadratwurzelfunktionen

Sal zeichnet y =√x. Dann zeigt er einige Beispiele, wie wir die Graphen von y =√x und y = x ^ 2 verschieben und strecken können und wie die Gleichungen dieser Graphen aussehen. Erstellt von Sal Khan und CK-12 Foundation

Video-Transkript

Du bist mit der Quadratwurzel wahrscheinlich schon ziemlich vertraut, aber ich möchte einige der Bezeichnungen klären, die ich selbst anfänglich etwas doppeldeutig fand. Ich möchte, dass du diese Bezeichnungen verstehst. Wenn ich eine 9 unter das Wurzelzeichen schreibe, weißt du, dass das für die Wurzel von 9 steht. Aber ich möchte etwas verdeutlichen. Wenn du eine Zahl unter so einem Wurzelzeichen siehst, bedeutet es, dass es sich um die traditionelle Quadratwurzel von 9 handelt. Und mit "traditionell" meine ich, dass es sich dabei um die positive Quadratwurzel von 9 handelt. Das hier ergibt also 3. Und ich will das verdeutlichen, da du wahrscheinlich weißt, dass 9 eigentlich zwei Wurzeln hat. Die Quadratwurzel von 9 ist eine Zahl, die, wenn sie quadriert wird, 9 ergibt. 3 ist eine Quadratwurzel, aber -3 ist ebenfalls eine. -3 ist ebenfalls eine Quadratwurzel. Aber wenn du nur das Wurzelzeichen schreibst, dann meinst du damit die positive bzw. die traditionelle Quadratwurzel. Wenn du die negative Quadratwurzel meinst, musst du ein Minus vor das Wurzelzeichen schreiben. Das ergibt -3. Und wenn du sowohl die positive bzw. traditionelle als auch die negative Quadratwurzel meinst, schreibst du ein ± vor das Wurzelzeichen. Und das hier ergibt natürlich ± 3. Jetzt möchte ich über den Graphen der Funktion y = √x sprechen. Und wir schauen uns an, wie er sich zur Funktion y = x² verhält. Wenn wir dann noch Zeit haben, verschieben wir die Funktionen ein wenig, um ein besseres Verständnis dafür zu bekommen, was eine Verschiebung nach oben, unten, links oder rechts auslöst. Zuerst erstellen wir eine Wertetabelle, bevor wir die Graphen zeichnen lassen. Zuerst für y = x². Wir haben x- und y-Werte. Hier haben wir y = √x. Wir haben ebenfalls x- und y-Werte. Ich denke mir einfach zufällige x-Werte aus, die im positiven Definitionsbereich von x liegen. Wenn x = 0, was ist dann y? Die Funktion lautet y = x². 0² = 0. Wenn x = 1, dann ist y = 1², was 1 ergibt. Wenn x = 2, dann ist y = 2², was 4 ergibt. Wenn x = 3, dann ist y = 3², was 9 ergibt. Das kennen wir bereits. Ich könnte so weitermachen. Wenn x = 4, dann ist y = 4², was 16 ergibt. Wir kennen das alles. Wir haben unsere Parabeln gezeichnet. Das ist alles eine kleine Wiederholung. Jetzt schauen wir uns an, was passiert, wenn y = √x ist. Und ich suche mir absichtlich x-Werte aus, durch die es etwas interessanter wird. Wenn x = 0, was ergibt dann y? Die traditionelle Quadratwurzel von 0 ist 0. 0² = 0. Wenn x = 1, dann haben wir √1, was 1 ergibt. Es gibt eine andere Quadratwurzel, nämlich -1, aber hier steht kein ± - Zeichen. Wir haben nur die traditionelle Quadratwurzel. Wenn x = 4, was ist dann y? Die traditionelle Quadratwurzel von 4 ist 2. Wenn x = 9, was ist dann y? Wenn x = 9, dann haben wir √9, was 3 ergibt. Und schließlich, wenn x = 16, haben wir √16, was 4 ergibt. Du siehst wahrscheinlich bereits, wie sich diese beiden Funktionen zueinander verhalten. Wir haben quasi nur die x- und die y-Werte getauscht. Bei den ersten beiden Werten haben wir dieselben x- und y-Werte, aber dann haben wir x = 2 und y = 4, und hier ist x = 4 und y = 2. (3|9), (9|3). (4|16), (16|4). Und das ergibt Sinn. Wenn du beide Seiten dieser Gleichung quadrieren würdest, würdest du hier y² = x erhalten. Und du würdest den Definitionsbereich von y natürlich auf positive y-Werte beschränken, da das hier nur positive Werte annehmen kann, da es eine traditionelle Quadratwurzel ist. Aber allgemein haben wir die x- und y-Werte zwischen diesen beiden Funktionen hier getauscht, wenn wir einen Definitionsbereich von positiven x- und y-Werten annehmen. Jetzt schauen wir uns an, wie die Graphen aussehen. Und ich glaube, du weißt vielleicht schon, wie sie aussehen. Ich zeichne sie mit der Hand, weil das lehrreicher ist, als direkt den Taschenrechner zu benutzen. Im bleibe im ersten, positiven Quadranten. Ich zeichne zuerst diese Funktion. Wir haben die Punkte (0|0), (1|1), (2|2). Ich muss etwas kleiner zeichnen. Ich zeichne zuerst die Skalierung bis 16. Und dann dasselbe auf der y-Achse. Ich muss auf beiden Seiten nur bis 16 zeichnen. Jetzt tragen wir die Punkte ein. Wir haben die Punkte (0|0), (1|1), (2|4), (3|9) ist ungefähr hier. Und dann haben wir (4|16) hier oben. Das ist der Graph von y = x² und wir kennen ihn bereits. Er sieht ungefähr so aus. Wir zeichnen ihn nur im positiven Quadrant, deshalb erhalten wir dieses nach oben geöffnete U. Jetzt zeichnen wir y = √x. Wir haben wieder (0|0), (1|1), dann haben wir (4|2), (9|3). Dann haben wir (16|4). Dieser Graph sieht also so aus. Du siehst, dass beide Graphen aussehen, als wären sie an der Achse gespiegelt. Dieser hier ist entlang der y-Achse geöffnet, dieser hier entlang der x-Achse. Und es ergibt wieder Sinn, da wir nämlich die x- und y-Werte getauscht haben. Inbesondere wenn du dir den ersten Quadranten anschaust. Sie sind symmetrisch entlang der Gerade y = x. In der Zukunft reden wir über Umkehrfunktionen, die entlang der Gerade y = x symmetrisch sind. Wir können diese Graphen mithilfe eines Taschenrechners besser darstellen. Ich habe einfach nur nach einem grafikfähigen Online-Taschenrechner gegoogelt. Du kannst auch ein anderes Online-Programm oder deinen Taschenrechner aus der Schule benutzen. Lass uns also die Funktionen ein bisschen besser zeichnen, als ich es per Hand gemacht habe. Schauen wir uns nochmal die Wertetabelle an. Wir zeichnen zuerst y = x². Und dann zeichne ich in Grün y = √x. Ich habe hier drüben Symbole die ich anklicken kann, das Wurzelzeichen, x², usw. Machen wir weiter. Ich lasse sie jetzt vom Programm zeichnen. Zuerst haben wir x² und dann √x. Wenn du dir nur den ersten Quadranten anschaust, siehst du, dass wir genau dasselbe Ergebnis wie vorher erhalten, obwohl meins natürlich ungenauer ist. Schauen wir uns jetzt einfach mal zum Spaß an, was wir machen müssen, um die verschiedenen Graphen zu verschieben. Beim Graphen von x² werde ich den die Größe ändern und ihn verschieben. Konzentrieren wir uns also auf x² und schauen, was passiert, wenn wir die Größe verändern. Und dann mach ich dasselbe mit dem Wurzelzeichen. Es funktioniert bei allem. Schauen wir, was bei 2x² passiert. Und wir zeichnen einen weiteren Graphen mit der Funktion 0,5x² ein. Wir lassen sie jetzt zeichnen. Unsere ursprüngliche x²-Funktion ist in Rot dargestellt. Wenn wir ihr eine 2 voranstellen, haben wir immer noch eine Parabel mit dem Scheitelpunkt an derselben Stelle, aber wir bewegen uns in beiden Richtungen schneller nach oben. Und bei 0,5x² haben wir immer noch eine Parabel, aber wir bewegen uns langsamer nach oben. Wir haben ein U mit einer breiteren Öffnung, da unser Skalierungsfaktor kleiner als 1 ist. So entscheidest du also, wie breit oder eng die Öffnung deiner Parabel ist. Was passiert, wenn du sie nach links oder rechts verschieben willst? Das war also x². Jetzt will ich den Graphen von x² um 4 nach rechts verschieben. Deshalb schreibe ich (x - 4)². Und wenn ich ihn um 2 nach links verschieben will, schreibe ich (x + 2)². Wie sehen die Graphen jetzt aus? Es ist genau das passiert, was ich gesagt habe. (x - 4)² wurde um 4 nach rechts verschoben. (x + 2)² wurde um 2 nach links verschoben. Diese Verschiebungen sind anfangs vielleicht etwas kontraintuitiv. Aber denk darüber nach, was passiert. Hier drüben ist der Scheitelpunkt da, wo x = 0 ist, und du hier oben 0² erhältst. Hier drüben ist der Scheitelpunkt an der Stelle x = 4. Aber wenn x = 4 ist, setzt du 4 hier ein und erhältst (4 - 4)². Also quadrierst du immer noch 0. 4 - 4 = 0, also quadrierst du die 0. Hier drüben, wenn x = -2, rechnest du (-2 + 2)², also quadrierst du wieder 0. Wenn du also hier 4 einsetzt, erhältst du 0. Und wenn du hier -2 einsetzt, erhältst du 0. Denk ein bisschen darüber nach. Anders betrachtet: Wenn x = 1 ist, sind wir an diesem Punkt der roten Parabel. Aber wenn x = 5 auf der grünen Parabel ist, haben wir 5 - 4, also 1 innerhalb der Klammer, genauso wie x = 1 hier oben ist. Du bist also am selben Punkt auf der Parabel. Ich möchte, dass du ein bisschen darüber nachdenkst. Es ist ein bisschen kontraintuitiv, dass man -4 schreibt, um nach rechts zu verschieben, und +2, um nach links zu verschieben. Aber es ergibt wirklich Sinn. Es ist außerdem interessant, die Graphen nach oben oder unten zu verschieben. Und das ist eigentlich ziemlich einfach. Wenn wir den roten Graphen nach oben verschieben wollen, schreiben wir x² + 1. Du siehst, dass er nach oben verschoben wurde. Wenn du willst, dass der grüne Graph um 5 nach unten verschoben wird, schreibst du hier -5 hin. Und dann siehst du, dass er um 5 nach unten verschoben wurde. Wenn du möchtest, dass der Graph etwas breiter geöffnet ist, kannst du ihn etwas verkleinern. Wir schreiben 0,5 vor die Funktion. Jetzt ist der grüne Graph verkleinert worden, öffnet sich langsamer und hat eine breitere Öffnung. Und dasselbe Prinzip kann man auf traditionelle Quadratwurzeln anwenden. Also mache ich das jetzt. Es ist dasselbe Prinzip und es kann auf jede Funktion angewandt werden. Wenden wir es also auf √x an. Und in Grün zeichnen wir √(x - 5). Wir verschieben den Graphen also um 5 nach rechts. Und dann zeichnen wir noch √(x + 4), wodurch wir den Graphen um 4 nach links verschieben, und dann verschieben wir ihn noch um 3 nach unten. Jetzt werden die Graphen gezeichnet. Das ist √x. Dann haben wir √(x - 5). Es ist derselbe Graph wie bei √x, ich habe ihn nur um 5 nach rechts verschoben. Wenn x = 5 ist, dann habe ich eine 0 unter dem Wurzelzeichen. Das ist dasselbe wie √0. Dieser Punkt hier entspricht also diesem Punkt dort. Wenn ich jetzt √(x + 4) habe, dann habe ich den Graphen um 4 nach links verschoben. Wenn x = -4 ist, habe ich eine 0 unter dem Wurzelzeichen. Also entspricht dieser Punkt hier diesem Punkt dort. Und dann habe ich 3 subtrahiert, wodurch er um 3 nach unten verschoben wurde. Das ist also mein Anfangspunkt. Wenn ich möchte, dass diese blaue Quadratwurzel sich langsamer öffnet, sodass sie etwas schmaler ist, dann verkleinere ich sie. Wenn ich hier eine kleine Zahl hinschreibe, wird der Graph verkleinert und schmäler, da er sich entlang der x-Achse öffnet. Und ich will, dass der grüne Graph eine breitere Öffnung hat. Also schreibe ich 3√(x - 5). Jetzt lassen wir sie zeichnen. Du siehst, dass der blaue Graph jetzt eine schmalere Öffnung hat, und dass sich der grüne Graph sehr viel schneller öffnet. Er hat sich vergrößert. Dann könnten wir diesen hier um 4 nach oben verschieben. Wir lassen ihn zeichnen und da sehen wir es. Denk daran, wenn wir die Graphen zeichnen, dass es keine seitliche Parabel ist, da wir von der traditionellen Quadratwurzel ausgehen. Wenn du die ±√ betrachten würdest, wäre es nicht einmal eine gültige Funktion, da du zwei y-Werte für jeden x-Wert erhalten würdest. Deswegen verwenden wir die traditionelle Quadratwurzel. Ich hoffe dieses Video über die Beziehung von x oder x² mit Parabeln und den traditionellen Quadratwurzeln und wie man sie verschiebt hat dir weitergeholfen. Dieses Wissen wird sehr nützlich sein, wenn wir später Umkehrfunktionen und verschobene Funktionen behandeln.