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Quadratwurzelfunktion transformieren

Video-Transkript

Lass uns über y = √x nachdenken. Dann verändern wir diese Gleichung etwas, und schauen uns an, was mit dem Graphen passiert. Wir haben also y = √x. Wenn wir mit reellen Zahlen arbeiten wollen, dann ist x für negative Werte nicht definiert. Unser Definitionsbereich ist also x ≥ 0. Wenn x = 0, dann ist y = 0. Wenn x = 1, ziehen wir die traditionelle Wurzel von 1, die ebenfalls 1 ist. So funktioniert das also. Wenn x = 4 ist, haben wir die traditionelle Wurzel von 4, nämlich 2. Wenn x = 9 ist, haben wir die traditionelle Wurzel von 9, nämlich 3. So sieht der Graph also ungefähr aus. Ich versuche mein Bestes, den Graphen zu zeichnen. Jetzt denken wir darüber nach, was passiert, wenn wir ihn verschieben wollen. Wir wollen ihn z.B. um 4 nach oben verschieben. Wie machen wir das? Wir wollen von jedem Wert, den wir hier erhalten, dass y um 4 höher ist. Also addieren wir einfach 4. Wir können also y = √(x) + 4 verwenden. Das verschiebt diesen Graphen hier um 1, 2, 3, 4 nach oben. Er sieht so aus. Das war ziemlich einfach. Ich zeichne ihn in der blauen Farbe nach, damit du weißt, dass er zu der blauen Gleichung gehört. Was machen wir, wenn wir ihn um 3 nach links verschieben wollen? Wie definieren wir dann die Funktion? Ich benutze dafür orange. Wir wollen um 3 nach links verschieben. Denk darüber nach. An diesem Punkt hier ist y = 0, und was auch immer unter der Wurzel steht, ergibt 0. Was muss also hier unter der Wurzel stehen, damit wir 0 erhalten? Hier ist x = -3. Wenn du also x + 3 unter die Wurzel schreibst, und die Wurzel davon ziehst, erhältst du 0. Diese orangefarbene Funktion hier ist y = √(x + 3). Das ist vielleicht etwas verwirrend. Wir haben √x durch √(x + 3) ersetzt. Wenn wir 4 außerhalb der Wurzel addieren, verschiebt das die Funktion nach oben. Aber wenn wir 3 innerhalb der Wurzel addieren, verschiebt das die Funktion nach links, und nicht nach rechts. Es hat diesen Punkt von 0 zu -3 verschoben. Und es ist wichtig, zu verstehen, was y = 0 werden lässt. Hier drüben haben wir y = 0, wenn x = 0. Hier und hier ist y = 0, wenn x + 3 = 0 oder wenn x = -3. Und du könntest andere Punkte verwenden, um zu sehen, dass die Funktion definitiv nach links verschoben wird. Und es ist wichtig, das zu verstehen. Das gilt nicht nur für Wurzelfunktionen. Das gilt allgemein für Funktionen. Wenn du eine Zahl außerhalb der Wurzel addierst, wird die Funktion um diese Zahl nach oben oder unten verschoben. Bei einer -4 wäre die Funktion nach unten verschoben worden. Aber wenn du innerhalb der Wurzel das x durch x + 3 ersetzt, wird die Funktion um 3 nach links verschoben. Wenn du eine Verschiebung um 3 nach rechts haben willst, müsste hier ein x - 3 stehen. Das ist interessant. Was ist aber, wenn ich den Graphen spiegeln möchte? Wenn ich möchte, dass er so aussieht? Ich zeichne ihn mal. Ich möchte, dass dieser Graph so aussieht. Er ist gespiegelt. Ich möchte also, dass der Graph ungefähr so aussieht. Ich möchte ihn also entlang der Geraden x = 3 spiegeln. Wie mache ich das? Ich habe jetzt einen anderen Definitionsbereich. Mein Definitionsbereich sollte für alle x > -3 nicht definiert sein. Und er sollte für alle x ≤ -3 definiert sein. Anders betrachtet: Wir müssen das Vorzeichen des Wertes unter dem Wurzelzeichen umkehren. Dieser grüne Graph hier könnte also y = √(-(x + 3)) sein. Ich ermutige dich, hier verschiedene x-Werte auszuprobieren. Wir haben quasi den Wert unter der Wurzel umgekehrt. Um jetzt einen positiven Wert unter der Wurzel zu bekommen, muss x + 3 negativ sein. Und x + 3 ist nur dann nicht positiv, ist, wenn x < -3 ist. Was wäre, wenn wir etwas noch Interessanteres machen? Was, wenn wir diesen Graphen entlang der horizontalen Achse y = 0 spiegeln? Dann kehren wir nur die gezogene Wurzel um. Das wäre y = -√(-(x + 3)). Der Graph sieht dann so aus. Und wenn wir diesen Graphen verschieben wollen, können wir etwas außerhalb der Wurzel addieren oder subtrahieren. Ich will diesen Graphen jetzt nach hier unten verschieben. Anstatt bei y = 0 hier drüben zu beginnen, beginnen wir jetzt bei y = -4. Dazu subtrahieren wir einfach 4 außerhalb der Wurzel. Dieser Graph hier wäre also y = -√(-(x + 3)) - 4. Und wir könnten immer so weiter machen. Aber ich hoffe, du hast jetzt ein Gespür für die verschiedenen Arten, wie man Graphen verändern kann. Und wir machen weitere Beispiele, damit du ein besseres Verständnis davon bekommst.