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Gleichung, die eine bestimmte ungültige Lösung hat

Video-Transkript

Welcher Wert für d sorgt dafür, dass x = -3 eine irrelevante Lösung dieser Wurzelgleichung wird? √(3x + 25) = d + 2x. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, und selbst darüber nachzudenken, bevor wir weitermachen. Okay, jetzt lösen wir es zusammen. Als erstes erinnern wir uns daran, was eine irrelevante Lösung ist. Es ist eine Lösung, die wir erhalten, die aber eigentlich nur ein Nebenprodukt des Lösungsprozesses, und keine wirkliche Lösung unserer ursprünglichen Gleichung ist. Wie entstehen diese irrelevanten Lösungen? Sie entstehen, wenn du beide Seiten quadrierst. Um in dieser Gleichung das Wurzelzeichen loszuwerden, will ich beide Seiten quadrieren. Wenn ich beide Seiten quadriere, wird aus der linken Seite 3x + 25, und wenn ich die rechte Seite quadriere, steht dort d² + 4dx + x². Wir haben nur beide Seiten hiervon quadriert, aber es gibt noch eine andere Gleichung, bei der wir durch Quadrieren beider Seiten ebenfalls dieses Ergebnis erhalten würden. Wie lautet die andere Gleichung? Die andere Gleichung wäre einfach das Negative einer dieser Seiten. Wenn du bei der ursprünglichen Gleichung z.B. -√(3x + 25) = d + 2x gehabt hättest, würdest du beide Seiten davon quadrieren und immer noch diese lilafarbene Gleichung erhalten, da du beim Quadrieren von etwas Negativem etwas Positives erhältst. Wenn du beide Seiten dieser zwei Gleichungen quadrierst, erhalten wir jedes Mal das hier als Ergebnis. Wenn du diese lilafarbene Gleichung hier löst, bei der es sich um eine quadratische Gleichung handelt, die du nur etwas umschreiben musst, um sie in die quadratische Standardform zu bringen, wirst du zwei Lösungen erhalten. Und es stellt sich heraus, dass eine der Lösungen für diese gelbe Gleichung sein wird, und die andere Lösung für diese lilafarbene Gleichung. Und die Lösung für die lilafarbene Gleichung ist eine irrelevante Lösung für die gelbe Gleichung. Sie ist keine Lösung der gelben Gleichung. Wenn wir also herausfinden sollen, welcher Wert für d dafür sorgt, dass x = -3 zu einer irrelevanten Lösung für diese gelbe Gleichung wird, bedeutet es, dass wir herausfinden sollen, welcher Wert für d dafür sorgt, dass x = -3 eine Lösung für diese Gleichung hier ist. Wenn es eine Lösung hierfür ist, dann ist es eine irrelevante Lösung hierfür, da es sich um zwei verschiedene Gleichungen handelt. Wir haben das Negative einer Seite der Gleichung genommen, um diese hier zu erhalten. Wenn du das Negative beider Seiten dieser Gleichung genommen hättest, dann wäre es dasselbe, da du beide Seiten einer Gleichung mit einem negativen Wert multiplizieren kannst. Die Lösung hierfür wäre dieselbe, wenn ich das Minus anstatt links nach rechts geschrieben hätte. Welcher Wert für d sorgt also dafür, dass x = -3 eine Lösung hierfür ist? Wir ersetzen also x hier mit -3, und lösen dann nur noch nach d auf. Wenn x = -3, haben wir -√(-9 + 25) = d - 6. Jetzt könnten wir beide Seiten quadrieren, aber das mache ich nicht, da wir sonst Informationen verlieren würden. Wir haben also -√16 = d - 6. Das hier ergibt -4. Die Quadratwurzel von 16 ist 4, und wir haben das Minuszeichen davor stehen. Das ergibt d - 6, und wir addieren 6 zu beiden Seiten. Wir erhalten 2 = d. Wenn d = 2, dann haben wir als eine Lösung dieser lilafarbenen Gleichung x = -3. Und das wäre eine irrelevante Lösung, denn wenn x = -3 das hier erfüllt, dann erfüllt es definitiv das hier, aber das hier oben erfüllt es nicht. Und du könntest überprüfen, ob das gleich 2 ist, indem du x = -3 ausprobierst. Auf der linken Seite erhältst du 16, und auf der rechten Seite erhältst du 2 - 6, was -4 ergibt. Das ergibt -4, also funktioniert es nicht. x = -3 ist keine Lösung hierfür, aber es ist eine Lösung hierfür, und es ist eine Lösung dieser quadratischen Gleichung. d = 2 sorgt also dafür, dass x = -3 eine irrelevante Lösung dieser Gleichung wird.