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Nullstellen von Polynomen & deren Graphen

Video-Transkript

Benutze die reellen Nullstellen der Polynomfunktion y = x³ + 3x² + x + 3, um herauszufinden, welche der abgebildeten Graphen der Graph der Funktion ist. Es gibt mehrere Lösungsansätze. Wir könnten uns anschauen, welche Nullstellen diese Graphen haben, und dann schauen, ob diese Funktion tatsächlich 0 ergibt, wenn x durch diese Zahl ersetzt wird. Ich ermutige dich, dieses Video zu pausieren, und es selbst zu versuchen, bevor ich es dir zeige. Ich nehme mal an, du hast es versucht. Schauen wir uns also den ersten Graphen hier an. Er hat hier eindeutig eine Nullstelle. Es sieht so aus, als wäre diese Nullstelle ungefähr an der Stelle x = -3. Das wäre also der Punkt (-3|0). Schauen wir mal, ob wir y = 0 erhalten, wenn wir hier x durch -3 ersetzen. (-3)³ + 3 ⋅ -(3)² + (-3) + 3. Was ergibt das? Das ist -27. Das ist 27. Das ist natürlich -3. Und das ist +3. Die beiden kürzen sich weg. Und die beiden kürzen sich weg. Es ergibt tatsächlich 0. Das war ziemlich einfach. Graph A würde also funktionieren. Wir können jetzt den Graphen B ausprobieren, und überprüfen, ob wir eine Nullstelle bei -2 haben. Und eine bei 1 und eine weitere bei 3. Da wir bereits wissen, dass A die richtige Antwort ist, sollte beim Einsetzen dieser Werte (x = -2, x = 1 oder x = 3) in die Funktion bei keinem 0 herauskommen. Du wirst sehen, dass es nicht klappt. Genauso hier. Wenn du 4 oder 7 als deinen x-Wert einsetzt, wirst du nicht 0 erhalten, da wir sehen, dass die richtige Funktion bei 4 oder 7 nicht gleich 0 wird. Ein weiterer Hinweis, dass das nicht die Funktion ist, ist, dass du eine Gesamtzahl von 3 Nullstellen haben wirst. Ich schreibe es auf. Du wirst insgesamt 3 Nullstellen haben. Das könnten 3 reelle oder 3 komplexe Nullstellen sein. Und das wichtige ist, dass komplexe Nullstellen paarweise auftreten. Du könntest also 3 reelle Nullstellen haben. Und das ist ein Beispiel mit reellen Nullstellen, obwohl wir wissen, dass es nicht wirklich diese Funktion hier ist. Oder, wenn du eine komplexe Nullstelle hast, hast du eine weitere komplexe Nullstelle. Wenn du also überhaupt komplexe Nullstellen hast, ist die nächste Möglichkeit 1 reelle und 2 komplexe Nullstellen. Und diese hier hat 2 reelle Nullstellen. Das kann nicht sein. Das würde bedeuten, dass du nur 1 komplexe Nullstelle hast, was nicht sein kann. Wir hätten es auch anders lösen kann, was aber länger dauert. Wenn du diese Graphen hier nicht hättest, und jemand dich nach den Nullstellen fragen würde, hättest du versuchen können, sie zu faktorisieren. Und diese hier ist tatsächlich faktorisierbar. y = x³ + 3x² + x + 3. Wie ich in vorherigen Videos erwähnt habe, ist das Faktorisieren von Dingen ab dem 3. Grad eine Art Kunst. Aber oftmals kannst du Dinge auf interessante Art und Weise gruppieren, besonders wenn du siehst, dass mehrere Terme einen gemeinsamen Teiler haben. Diese ersten beiden Terme hier haben z.B. den gemeinsamen Teiler x². Wenn du das ausklammerst, erhältst du x² (x + 3), was praktisch ist, da es den zweiten beiden Termen sehr ähnlich sieht. Wir könnten es als + 1 (x + 3) schreiben. Dann kannst du (x + 3) ausklammern, und wir erhalten (x + 3) (x² + 1). Denk daran, dass das alles gleich y ist. y ergibt 0, wenn einer dieser Faktoren gleich 0 ist. Wann ergibt x + 3 = 0 ? Subtrahiere einfach 3 von beiden Seiten. Es ergibt 0, wenn x = -3 ist. Wann ergibt x² + 1 = 0 ? Wenn x² = -1 ist. Es gibt keine reelle Zahl für x, bei der x² = -1 ergibt. x ist also ein imaginärer bzw. komplexer Wert. Du siehst also wieder, dass du ein Paar komplexer Nullstellen und 1 reelle Nullstelle an der Stelle x = -3 hast.