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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 4

Lektion 11: Nullstellen von Polynomen und deren Graphen
Mathematik
Algebra 2
Polynome
Nullstellen von Polynomen und deren Graphen
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Nullstellen von Polynomen & deren Graphen

Google Classroom
Erfahre mehr über die Beziehung zwischen Nullstellen und Schnittpunkten mit der x-Achse von Polynomen. Erfahre mehr über Nullstellen-Multiplizitäten.

Was du in dieser Lektion lernst

Wenn du dich mit Polynomen beschäftigst, hörst du oft die Begriffe Nullstellen, Wurzeln, Faktoren und Schnittpunkte mit der x-Achse.
In diesem Artikel werden wir diese Eigenschaften von Polynomen und die besondere Beziehung, die sie miteinander haben, untersuchen.

Grundlegende Verbindungen für Polynomfunktionen

Für ein Polynom f und eine reelle Zahl k sind die folgenden Aussagen äquivalent:
  • x, equals, start color #01a995, k, end color #01a995 ist eine Lösung der Gleichung f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0
  • start color #01a995, k, end color #01a995 ist eine Nullstelle der Funktion f
  • left parenthesis, start color #01a995, k, end color #01a995, vertical bar, 0, right parenthesis ist ein Schnittpunkt mit der x-Achse des Graphen von y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis
  • x, minus, start color #01a995, k, end color #01a995 ist ein linearer Faktor von f, left parenthesis, x, right parenthesis
Wir wollen das dem Polynom g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis verstehen, das als g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis geschrieben werden kann.
Zuerst sehen wir, dass die Linearfaktoren von g, left parenthesis, x, right parenthesis left parenthesis, x, minus, start color #01a995, 3, end color #01a995, right parenthesis und left parenthesis, x, minus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, right parenthesis, right parenthesis sind.
Wenn wir g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 setzen und nach x auflösen, erhalten wir x, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995 oder x, equals, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995. Dies sind die Lösungen oder Nullstellen der Gleichung.
Eine Nullstelle einer Funktion ist ein x-Wert, der den Funktionswert 0 hat. Da wir wissen, dass x, equals, 3 und x, equals, minus, 2 Lösungen von g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 sind, dann sind start color #01a995, 3, end color #01a995 und start color #01a995, minus, 2, end color #01a995 Nullstellen der Funktion g.
Schließlich erfüllen die Schnittpunkte mit der x-Achse des Graphen von y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis die Gleichung 0, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis, die oben gelöst wurde. Die Schnittpunkte mit der x-Achse der Gleichung sind left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, vertical bar, 0, right parenthesis und left parenthesis, start color #01a995, minus, 2, end color #01a995, vertical bar, 0, right parenthesis.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Was sind die Nullstellen von f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 7, right parenthesis?
Wähle eine Lösung.

2) Der Graph der Funktion g schneidet die x-Achse bei left parenthesis, 2, vertical bar, 0, right parenthesis. Was muss eine Nullstelle der Gleichung g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 sein?
x, equals
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

3) Die Nullstellen der Funktion h sind minus, 1 und 3. Welches der folgenden Punkte könnte h, left parenthesis, x, right parenthesis sein?
Wähle eine Lösung.

Nullstellen und Multiplizität

Wenn ein Linearfaktor mehrfach bei der Faktorisierung eines Polynoms auftritt, ergibt das die zugehörige Nullstellen-Multiplizität.
Beispielsweise ist in dem Polynom f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, start superscript, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, end superscript die Zahl 4 eine Nullstelle der Multiplizität start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff.
Beachte, dass bei einem Ausmultiplizieren von f, left parenthesis, x, right parenthesis der Faktor left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff mal geschrieben wird.
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, end color #aa87ff
In gewissem Sinne also, wenn du f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 löst, erhältst du zweimal x, equals, 4.
0=(x−1)(x−4)(x−4)x−1=0x−4=0x−4=0x=1x=4x=4\begin{aligned}0&=(x-1)\purpleC{(x-4)(x-4)}\\ \\ &x-1=0\qquad x-4=0\qquad x-4=0\\\\ &x=1\qquad \qquad \purpleC{x=4}\qquad \qquad \purpleC{x=4} \end{aligned}
Im Allgemeinen, wenn x, minus, k m mal bei der Faktorisierung eines Polynoms auftritt, dann ist k eine Nullstelle der Multiplizität m. Eine Nullstelle der Multiplizität 2 heißt doppelte Nullstelle.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

4) Welche Nullstelle von f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, cubed hat die Multiplizität 3?
Wähle eine Lösung.

5) Welche Nullstelle von g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, squared ist eine doppelte Nullstelle?
Wähle eine Lösung.

Die grafische Verbindung

Die Multiplizität einer Nullstelle ist wichtig, weil sie uns sagt, wie sich der Graph des Polynoms um die Nullstelle herum verhält.
Beachte zum Beispiel, dass sich der Graph von f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared anders um die Nullstelle 1 herum verhält, als um die Nullstelle 4, was eine doppelte Nullstelle ist.
Insbesondere während der Graph die x-Achse bei x, equals, 1 schneidet, berührt er nur die x-Achse bei x, equals, 4.
Schauen wir uns den Graphen einer Funktion an, der die gleichen Nullstellen hat, aber verschiedene Multiplizitäten. Betrachte beispielsweise g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis. Beachte, dass für diese Funktion 1 nun eine doppelte Nullstelle ist, während 4 eine einfache Nullstelle ist.
Jetzt sehen wir, dass der Graph von g die x-Achse bei x, equals, 1 berührt und die x-Achse bei x, equals, 4 schneidet.
Im Allgemeinen, wenn eine Funktion f eine Nullstelle einer ungeraden Multiplizität hat, schneidet der Graph von y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis die x-Achse bei diesem x Wert. Wenn eine Funktion f eine Nullstelle einer geraden Multiplizität hat, berührt der Graph von y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis die x-Achse bei diesem Punkt.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

6) Ist in der gezeichneten Funktion die Multiplizität der Nullstelle 6 gerade oder ungerade?
Wähle eine Lösung.

7) Welcher Graph ist der Graph von h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis?
Wähle eine Lösung.

Challenge Aufgabe

8*) Welcher Graph ist der Graph von f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, x, cubed, plus, 4, x, squared, minus, 4, x?
Wähle eine Lösung.

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