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Nullstellen von Polynomen & deren Graphen

Erfahre mehr über die Beziehung zwischen Nullstellen und Schnittpunkten mit der x-Achse von Polynomen. Erfahre mehr über Nullstellen-Multiplizitäten.

Was du in dieser Lektion lernst

Wenn du dich mit Polynomen beschäftigst, hörst du oft die Begriffe Nullstellen, Wurzeln, Faktoren und Schnittpunkte mit der x-Achse.
In diesem Artikel werden wir diese Eigenschaften von Polynomen und die besondere Beziehung, die sie miteinander haben, untersuchen.

Grundlegende Verbindungen für Polynomfunktionen

Für ein Polynom f und eine reelle Zahl k sind die folgenden Aussagen äquivalent:
  • x=k ist eine Lösung der Gleichung f(x)=0
  • k ist eine Nullstelle der Funktion f
  • (k|0) ist ein Schnittpunkt mit der x-Achse des Graphen von y=f(x)
  • xk ist ein linearer Faktor von f(x)
Wir wollen das dem Polynom g(x)=(x3)(x+2) verstehen, das als g(x)=(x3)(x(2)) geschrieben werden kann.
Zuerst sehen wir, dass die Linearfaktoren von g(x) (x3) und (x(2)) sind.
Wenn wir g(x)=0 setzen und nach x auflösen, erhalten wir x=3 oder x=2. Dies sind die Lösungen oder Nullstellen der Gleichung.
Eine Nullstelle einer Funktion ist ein x-Wert, der den Funktionswert 0 hat. Da wir wissen, dass x=3 und x=2 Lösungen von g(x)=0 sind, dann sind 3 und 2 Nullstellen der Funktion g.
Schließlich erfüllen die Schnittpunkte mit der x-Achse des Graphen von y=g(x) die Gleichung 0=g(x), die oben gelöst wurde. Die Schnittpunkte mit der x-Achse der Gleichung sind (3|0) und (2|0).

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) Was sind die Nullstellen von f(x)=(x+4)(x7)?
Wähle eine Lösung.

2) Der Graph der Funktion g schneidet die x-Achse bei (2|0). Was muss eine Nullstelle der Gleichung g(x)=0 sein?
x=
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3/5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7/4
  • eine gemischte Zahl wie 1 3/4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0,75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12 Pi oder 2/3 Pi

3) Die Nullstellen der Funktion h sind 1 und 3. Welches der folgenden Punkte könnte h(x) sein?
Wähle eine Lösung.

Nullstellen und Multiplizität

Wenn ein Linearfaktor mehrfach bei der Faktorisierung eines Polynoms auftritt, ergibt das die zugehörige Nullstellen-Multiplizität.
Beispielsweise ist in dem Polynom f(x)=(x1)(x4)2 die Zahl 4 eine Nullstelle der Multiplizität 2.
Beachte, dass bei einem Ausmultiplizieren von f(x) der Faktor (x4) 2 mal geschrieben wird.
f(x)=(x1)(x4)(x4)
In gewissem Sinne also, wenn du f(x)=0 löst, erhältst du zweimal x=4.
0=(x1)(x4)(x4)x1=0x4=0x4=0x=1x=4x=4
Im Allgemeinen, wenn xk m mal bei der Faktorisierung eines Polynoms auftritt, dann ist k eine Nullstelle der Multiplizität m. Eine Nullstelle der Multiplizität 2 heißt doppelte Nullstelle.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

4) Welche Nullstelle von f(x)=(x3)(x1)3 hat die Multiplizität 3?
Wähle eine Lösung.

5) Welche Nullstelle von g(x)=(x+1)3(2x+1)2 ist eine doppelte Nullstelle?
Wähle eine Lösung.

Die grafische Verbindung

Die Multiplizität einer Nullstelle ist wichtig, weil sie uns sagt, wie sich der Graph des Polynoms um die Nullstelle herum verhält.
Beachte zum Beispiel, dass sich der Graph von f(x)=(x1)(x4)2 anders um die Nullstelle 1 herum verhält, als um die Nullstelle 4, was eine doppelte Nullstelle ist.
Insbesondere während der Graph die x-Achse bei x=1 schneidet, berührt er nur die x-Achse bei x=4.
Schauen wir uns den Graphen einer Funktion an, der die gleichen Nullstellen hat, aber verschiedene Multiplizitäten. Betrachte beispielsweise g(x)=(x1)2(x4). Beachte, dass für diese Funktion 1 nun eine doppelte Nullstelle ist, während 4 eine einfache Nullstelle ist.
Jetzt sehen wir, dass der Graph von g die x-Achse bei x=1 berührt und die x-Achse bei x=4 schneidet.
Im Allgemeinen, wenn eine Funktion f eine Nullstelle einer ungeraden Multiplizität hat, schneidet der Graph von y=f(x) die x-Achse bei diesem x Wert. Wenn eine Funktion f eine Nullstelle einer geraden Multiplizität hat, berührt der Graph von y=f(x) die x-Achse bei diesem Punkt.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

6) Ist in der gezeichneten Funktion die Multiplizität der Nullstelle 6 gerade oder ungerade?
Wähle eine Lösung.

7) Welcher Graph ist der Graph von h(x)=x2(x3)?
Wähle eine Lösung.

Challenge Aufgabe

8*) Welcher Graph ist der Graph von f(x)=x3+4x24x?
Wähle eine Lösung.

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