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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 4

Lektion 11: Nullstellen von Polynomen und deren Graphen
Mathematik
Algebra 2
Polynome
Nullstellen von Polynomen und deren Graphen
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Positive und negative Intervalle von Polynomen

Google Classroom
Erfahre mehr über die Beziehung zwischen den Nullstellen von Polynomen und den Intervallen, in denen sie positiv oder negativ sind.

Was du vor dem Beginn dieser Lektion kennen solltest

Die Nullstellen eines Polynoms f entsprechen den Schnittpunkten mit der x-Achse des Graphen von y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Nehmen wir zum Beispiel f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared. Da die Nullstellen der Funktion f minus, 3 und 1 sind, hat der Graph von y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis die Schnittpunkte mit der x-Achse bei left parenthesis, minus, 3, vertical bar, 0, right parenthesis und left parenthesis, 1, vertical bar, 0, right parenthesis.
Wenn dies neu für dich ist, empfehlen wir dir, unseren Artikel Nullstellen von Polynomen zu lesen.

Was du in dieser Lektion lernst

Während die Schnittpunkte mit der x-Achse ein wichtiges Merkmal des Graphen einer Funktion sind, brauchen wir mehr, um eine gute Zeichnung zu erzeugen.
Die Kenntnis des Vorzeichens einer Polynomfunktion zwischen zwei Nullstellen kann uns helfen, einige der Lücken zu füllen.
In diesem Artikel erfährst du, wie du die Intervalle bestimmst, über die ein Polynom positiv oder negativ ist, und verbinde dies mit dem Graph.

Positive und negative Intervalle

Das Vorzeichen eines Polynoms zwischen zwei aufeinander folgenden Nullstellen ist entweder immer positiv oder immer negativ.
Betrachte beispielsweise die gezeichnete Funktion f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.
Aus dem Graph sehen wir, dass f, left parenthesis, x, right parenthesis immer ...
  • ... negativ ist, wenn minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1.
  • ... positiv ist, wenn minus, 1, is less than, x, is less than, 1.
  • ... negativ ist, wenn 1, is less than, x, is less than, 3.
  • ... positiv ist, wenn 3, is less than, x, is less than, infinity.
Es ist jedoch nicht erforderlich, um eine Polynomfunktion zu zeichnen, die Vorzeichen zwischen den Nullstellen zu ändern.
Betrachte beispielsweise die gezeichnete Funktion g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.
Aus dem Graph sehen wir, dass g, left parenthesis, x, right parenthesis immer ...
  • ... negativ ist, wenn minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2.
  • ... negativ ist, wenn minus, 2, is less than, x, is less than, 0.
  • ... positiv ist, wenn 0, is less than, x, is less than, infinity.
Beachte, dass sich bei g, left parenthesis, x, right parenthesis das Vorzeichen um x, equals, minus, 2 herum nicht ändert.

Bestimmung der positiven und negativen Intervalle von Polynomen

Finden wir die Intervalle, für die das Polynom f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared positiv ist und die Intervalle, für die es negativ ist.
Die Nullstellen von f sind minus, 3 und 1. Dadurch werden drei Intervalle erzeugt, in denen das Vorzeichen von f konstant ist:
Wir wollen das Vorzeichen f für minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3 bestimmen.
Wir wissen, dass f in diesem Intervall entweder immer positiv oder immer negativ ist. Wir können das bestimmen, was der Fall ist, indem wir f für einen Wert in diesem Intervall auswerten. Da sich minus, 4 in diesem Intervall befindet, bestimmen wir f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.
Da wir uns nur für das Vorzeichen des Polynoms interessieren, müssen wir es nicht vollständig auswerten:
f(x)=(x+3)(x−1)2f(−4)=(−4+3)(−4−1)2=(−)(−)2Bewerte nur das Vorzeichen der Lo¨sung.=(−)(+)Negativ zum Quadrat ist positiv.=−Negativ mal Positiv ist Negativ.\begin{aligned} f(x) &= (x+3)(x-1)^2\\ \\ f(-4) &= ({-4+3})({-4-1})^2 \\\\ &= ( -)(-)^2 &&\small{\gray{\text{Bewerte nur das Vorzeichen der Lösung.}}}\\\\ &=(-)(+)&&\small{\gray{\text{Negativ zum Quadrat ist positiv.}}}\\ \\ &=-&&\small{\gray{\text{Negativ mal Positiv ist Negativ.}}}\end{aligned}
Hier sehen wir, dass f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis negativ ist, und daher ist f, left parenthesis, x, right parenthesis für minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3 immer negativ.
Wir können den Vorgang für die verbleibenden Intervalle wiederholen.
Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.
Intervall | Der Wert eines bestimmten f, left parenthesis, x, right parenthesis innerhalb des Intervalls | Vorzeichen von f im Intervall | Verbindung mit Graph von f : - | :-: | : - minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3 | f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0 | Negativ | Unterhalb der x-Achse minus, 3, is less than, x, is less than, 1 | f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater than, 0 | Positiv | Über der x-Achse 1, is less than, x, is less than, infinity | f, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0 | Positiv | Über der x-Achse
Dies stimmt mit dem Graph von y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis überein.

Überprüfe, ob du es verstanden hast

1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis hat Nullstellen bei x, equals, minus, 6 und x, equals, minus, 1.
Was ist das Vorzeichen von g im Intervall minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1?
Wähle eine Lösung.

2) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis hat Nullstellen bei x, equals, minus, 5, x, equals, 2 und x, equals, 3.
Was ist das Vorzeichen von h, left parenthesis, x, right parenthesis im Intervall minus, 5, is less than, x, is less than, 2?
Wähle eine Lösung.

Challenge Aufgabe

3*) Welcher der folgenden könnte der Graph von g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed sein?
Wähle eine Lösung.

Bestimmung positiver und negativer Intervalle anhand einer Zeichnung des Graphen

Ein anderer Weg, um die Intervalle zu bestimmen, in denen ein Polynom positiv oder negativ ist, besteht darin, eine Skizze seines Graphen zu zeichnen, basierend auf dem Verhalten im Unendlichen des Polynoms und der Multiplizität seiner Nullstellen.
Schaue dir unseren Artikel zu Graphen von Polynomen für weitere Details an.

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