Gerade & ungerade Polynome

Wir haben hier drei Funktionen. Wir möchten von jeder herausfinden, ob sie gerade oder ungerade ist. Kleine Erinnerung daran, was eine gerade Funktion ist: Wenn du -x in sie einsetzt, erhältst du dasselbe Ergebnis, wie wenn du x einsetzt. f(-x) ist dasselbe wie f(x). Wenn du bei einer ungeraden Funktion -x einsetzt, ergibt es dasselbe, wie wenn wir x einsetzen, aber mit einem negativen Vorzeichen davor. Und wenn die Funktion keins von beiden ist, dann stimmen beide hiervon nicht. Probieren wir es aus. Wir schauen uns zuerst h(x) an. Pausiere wie immer das Video, und versuche, die Aufgabe selbst zu lösen. Schauen wir, was passiert, wenn wir h(-x) berechnen. Wir rechnen -10 ⋅ (-x)¹¹ + (-x)⁹ - (-x)³ + 7 ⋅ (-x). Was ergibt das? (-x)¹¹ ergibt das Negative von x¹¹. Da wir hier einen ungeraden Exponenten haben. Ich formuliere es nochmal anders. (-x)³ = -(x³). Wir wissen, dass wir einen negativen Wert erhalten. Genauso ergibt -x⁷ das Negative von x⁷. Probier es mit einer Zahl aus. Wenn das hier (-1)⁷ wäre, wäre es dasselbe wie -(1)⁷. Ich lösche das wieder. Das ist also (-x¹¹). Das ist (-x⁹). Wenn ich das hier schreibe, schreibe ich zuerst den Exponenten auf und setze dann ein Minuszeichen davor. Das hier ist -x³. Das ist einfach nur -x. Wenn du also -10 ⋅ (-x¹¹) rechnest, wird das Ergebnis durch die Multiplikation zweier Negative positiv. Das ist also 10x¹¹ - x⁹, dann subtrahierst du ein -x³, also rechnest du + x³, und das hier ist -7x. Beachte, dass das was wir hier haben, dem hier oben ähnlich ist, wir haben nur andere Vorzeichen. Das ist genauso, als hätte ich ein Minuszeichen mit h(x) multipliziert, das hier ist also -h(x). Wenn ich jeden Term mit -1 multipliziert hätte, hätte ich das hier erhalten: h(-x). Wir haben gerade gesehen, dass h(-x) = -h(x) ist, also wissen wir, dass es eine ungerade Funktion ist. Und ein verdächtiges Anzeichen dafür ist, dass sie aus mehreren ungeraden Funktionen besteht. Wir haben hier einen ungeraden Exponenten. Das wäre eine ungerade Funktion, wenn sie für sich alleine stehen würde. Das wäre eine ungerade Funktion, wenn sie für sich alleine stehen würde. Das wäre eine ungerade Funktion, wenn sie für sich alleine stehen würde. Und das wäre auch eine ungerade Funktion, wenn sie für sich alleine stehen würde. Wenn du also ein paar ungerade Funktionen addierst, erhältst du eine ungerade Funktion. Sie haben alle ungerade Exponenten, dadurch sind sie ungerade Funktionen. Jetzt schauen wir uns f(x) hier drüben an. Wenn du -x⁶ hast, multiplizierst du einen negativen Wert 6-mal und erhältst einen positiven Wert. Das ist also -7x⁶ + 3. Ich will diesen Schritt nicht überspringen. Hier haben wir -7(-x)⁶ + 3(-x)⁴ - 9(-x)² + 8. Eine negative Zahl potenziert mit 6 ergibt eine positive Zahl. Das ist also dasselbe wie -7x⁶. -x⁴ ist dasselbe wie x⁴, da sich die Minuszeichen alle wegkürzen, also haben wir 3x⁴. -x² ist dasselbe wie x². Als Beispiel: -3² ist dasselbe wie 3². Also haben wir -9x², die Minuszeichen kürzen sich weg, und dann haben wir + 8. Wir sehen, dass es dasselbe wie f(x) ist. Also wissen wir, f(-x) = f(x). Also ist f(x) gerade. Nochmal: Das sollte keine Überraschung sein, da sie aus mehreren geraden Funktionen besteht. Jede davon ist symmetrisch entlang der y-Achse, wenn du sie also alle addierst, erhältst du eine gerade Funktion. Sie besteht aus mehreren Termen, die alle einen geraden Exponenten haben. Wir haben einen Term sechsten, vierten und zweiten Grades, das hier könnte man als nullten Grad betrachten. Kommen wir zu g(x), die hier versteckt ist. Du schaust sie dir an und denkst vielleicht: "Wir haben hier eine gerade Funktion, und hier auch, aber das hier ist eine ungerade Funktion, und das hier ist auch eine ungerade Funktion." Das hier ist ein Term dritten Grades und das hier ein Term ersten Grades. Es ist also eine Mischung aus geraden und ungeraden Funktionen, also ist sie weder gerade noch ungerade. Und das kannst du testen. Wir schauen uns g(-x) an. -x⁴ ist dasselbe wie x⁴, also haben wir 3x⁴. -x³ ist das Negative von x³. Das ist also + 10x³. Ich schreibe es nochmal ausführlicher. 3(-x)⁴ - 10(-x)³ + (-x)² - (-x). Das ergibt einfach nur x⁴, das ist das Negative von x³, das ist dasselbe wie x², und das ist einfach nur -x. Wir haben also 3x⁴, -10(-x)³ = 10x³. Wir addieren x² und subtrahieren dann etwas Negatives, also +x. Du siehst, dass es nicht g(x) ist, da wir hier die Vorzeichen an den beiden Termen mit ungeraden Potenzen geändert haben, aber es ist auch nicht -g(x). Wir haben die Vorzeichen nur bei ein paar Termen geändert. Und das liegt daran, dass wir die Vorzeichen der ungeraden Terme geändert haben, und nicht die der geraden Terme. Diese Funktion hier ist also weder gerade noch ungerade.