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Komplexe Zahlen und Faktorisierung der Summe von Quadraten

Video-Transkript

Vor langer Zeit haben wir im Algebra-Unterricht gelernt, wie man Dinge wie z.B. x² - y² faktorisiert. Wir haben gesehen, dass das eine Differenz von Quadraten war, und dass man es als (x + y) (x - y) faktorisieren kann. Das ist eine kleine Wiederholung. Du kannst diese zwei multiplizieren, um zu bestätigen, dass du x² - y² erhältst. Wir machen das mal kurz. x ⋅ x = x². x ⋅ (-y) = -xy. y ⋅ x = + xy. y ⋅ (-y) = -y². Die beiden mittleren Terme kürzen sich weg, und es bleibt x² - y² übrig. In diesem Video möchte ich etwas angehen, dass wir vorher noch nicht faktorisieren konnten, und zwar die Summe von Quadraten. Wir wollen x² + y² faktorisieren. Bevor wir imaginäre, komplexe Zahlen kennenlernten, wussten wir nicht, wie man das faktorisiert. Jetzt, wo wir sie kennen, möchte ich etwas versuchen. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, und selbst zu versuchen, es als eine Differenz von Quadraten mithilfe der imaginären Einheit i auszudrücken. Versuchen wir es also. Den ersten Term wollen wir als eine Differenz von Quadraten darstellen. x² behalten wir also als x², aber ich möchte den zweiten Teil hier als eine Subtraktion eines Quadrats schreiben. Ich möchte ein Quadrat subtrahieren. Wir könnten diesen Teil also als -y² schreiben, wenn du etwas Negatives subtrahierst, ist es dasselbe, wie es zu addieren. Wie hilft uns das weiter? Das ist dasselbe, wie wenn wir - 1 ⋅ y² subtrahieren. Wenn wir das komplett als Quadrat schreiben wollen, wie machen wir das? Wir haben y² und von was ist -1 das Quadrat? Wir wissen, dass -1 als i² bzw. i² als -1 definiert ist. Wir schreiben es also um. Das ist gleich x², und anstatt -1 schreibe ich es als i². Wir haben also x² - i²y². Ich habe nur die -1 durch i² ersetzt. Und das ist interessant. Ich glaube, du siehst, was hier passiert, aber ich mache es nochmal deutlich. Das hier ist jetzt x² - (iy)². Und so einfach habe ich diese Summe von Quadraten als eine Differenz von Quadraten geschrieben. Und jetzt können wir genauso faktorisieren, wie wir es bei dem ursprünglichen Ausdruck getan haben. Das hier ergibt (x + iy) (x - iy). Wir können das überprüfen, indem wir diese beiden Ausdrucke multiplizieren, und dann x² + y² erhalten. Also machen wir das. x ⋅ x = x². x ⋅ (-iy) = -ixy. iy ⋅ x = +ixy. iy ⋅ (-iy) = -i²y². Die mittleren Terme kürzen sich weg. i² = -1. Also haben wir x² -1y², wir subtrahieren also einen negativen Term, was dasselbe ist, wie einen positiven Term zu addieren, also vereinfacht es sich zu x² + y². Ich hoffe, das hilft dir bei der Verwendung der komplexen imaginären Einheit i, und dabei, diesen Ausdruck in das Produkt zweier komplexer Zahlen zu faktorisieren.