Verhalten im Unendlichen von Funktionen & deren Graphen

Welche Funktion steigt an, je mehr x gegen Unendlich geht, und fällt ab, je mehr x gegen negativ Unendlich geht? Denken wir über diese Beschränkungen nach. Welche Funktion steigt an, je größer x wird? x vergrößert sich in Richtung Unendlichkeit, x geht also in diese Richtung. Schauen wir uns also zuerst f(x) hier an. Wenn wir bei f(x) diesen Minimalpunkt hier überschreiten, und unser x sich vergrößert, scheint f(x) anzusteigen. f(x) scheint also die erste Beschränkung zu erfüllen. Denken wir nun über g(x) nach. Sobald wir den Minimalpunkt hier überschritten haben, und x immer größer wird und gegen Unendlichkeit strebt, scheint g(x) immer größer zu werden. g(x) geht nach oben. g(x) scheint also ebenfalls diese erste Beschränkung zu erfüllen. Denken wir nun über h(x) nach. Je mehr x Richtung Unendlichkeit strebt, desto mehr scheint h(x) abzufallen. h(x) erfüllt also nicht einmal die erste Beschränkung. Unsere einzigen Möglichkeiten sind also g(x) und f(x). Welche davon fällt ab, je mehr x Richtung negative Unendlichkeit geht? Denken wir darüber nach: x geht Richtung negative Unendlichkeit. Wir gehen also in diese Richtung. Schauen wir uns zuerst f(x) an. f(x) geht hier ein bisschen nach oben und nach unten. Aber nachdem wir diesen kleinen lokalen Maximalpunkt erreicht haben, das hier drüben war ein lokaler Minimalpunkt, kein globaler, wenn wir links von diesem lokalen Maximalpunkt weitergehen, und immer kleinere x-Werte haben, sehen wir, dass die Funktion abfällt. Sie scheint also die zweite Beschränkung zu erfüllen. Sie fällt ab, je mehr x in Richtung negative Unendlichkeit geht. Sie erfüllt also diese Beschränkung. Was ist mit g(x)? Nachdem wir diesen globalen Minimalpunkt hier erreichen, und x Richtung negativer Unendlichkeit geht, scheint g(x) anzusteigen und nicht abzufallen. g(x) erfüllt also die zweite Beschränkung nicht. Die einzige Funktion, die also beide Beschränkungen erfüllt, ist f(x).