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Einführung in das Verhalten im Unendlichen von Polynomen

Video-Transkript

In diesem Video möchte ich über das Verhalten im Unendlichen von Polynomen sprechen. Wir reden also darüber, was mit einem Polynom passiert, wenn x sehr groß oder sehr negativ wird. Wir kennen z.B. quadratische Polynome, bei denen y = ax² + bx + c ist. Wir wissen, dass, wenn a > 0 ist, wir eine nach oben geöffnete Parabel erhalten werden. Der Graph dieser Funktion sieht also ungefähr so aus. Und wenn a < 0 ist, haben wir eine nach unten geöffnete Parabel. Wir haben weniger Zeit auf Polynome 3. Grades verwendet, aber wir kennen sie trotzdem. Wenn du also z.B. das Polynom 3. Grades y = ax³ + bx² + cx + d hast, und a > 0 und x sehr negativ ist, wird diese ganze Funktion sehr negativ. Und dann steigt sie an, wenn x weniger negativ wird. In der Mitte passieren vielleicht komische Dinge. Je positiver x wird, desto positiver wird auch die Funktion. Der Graph sieht also ungefähr so aus, wenn a > 0 ist. Was passiert, wenn a < 0 ist? Dann würden wir es, genau wie hier, einfach umdrehen. Wenn a < 0 und x sehr negativ ist, dann multiplizierst du das mit einem negativen a und erhältst einen positiven Wert. Der Graph sieht also ungefähr so aus. Und dann geht er nach da. Und das passiert dazwischen. Aber dann im Unendlichen beginnt er wieder, abzufallen. Wenn wir also über das Verhalten im Unendlichen sprechen, fragen wir uns, was mit diesem Polynom passiert, wenn x stark positiv und x stark negativ wird? Und wir wissen, dass in der Mitte einige komische Dinge passieren. Wir wollen herausfinden, was bei Extremwerten von x passiert. Bei einem Polynom 2. Grades passieren natürlich keine komischen Dinge in der Mitte. Aber bei einem Polynom 3. Grades sehen wir, dass einige interessante Dinge in der Mitte passieren können. Das Verhalten im Unendlichen von Polynomen 3. Grades wenn a > 0 ist, beginnen wir bei sehr, sehr kleinen Werten, und wenn a positiv wird, bekommen wir stark hohe Werte. Wenn a < 0 ist, passiert das Gegenteil. Das sind also die zwei Prototypen für Polynome. Denn von hier aus können wir über Polynome aller Grade nachdenken. Denken wir also über ein Polynom 4. Grades nach. Sagen wir, y = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + f. Ich möchte kein e verwenden, da es andere Bedeutungen in der Mathematik hat. Deswegen benutze ich f, es ist aber keine Funktion f, sondern einfach nur eine Konstante f. Denken wir darüber nach, wie diese Funktion aussehen könnte. Denken wir über ihr Verhalten im Unendlichen nach, über das wir im Bezug auf ein Polynom 2. Grades nachdenken könnten. Wenn x stark negativ ist, verhält sich x⁴ im Unendlichen immer noch positiv. Und wenn a > 0, wenn x stark negativ ist, haben wir stark positive Werte, genauso wie bei einem Polynom 2. Grades. Und wenn x stark positiv ist, ist es genauso. x⁴ ist positiv, mit a multipliziert ist es immer noch positiv. Das Verhalten im Unendlichen sieht daher dem eines Polynom 2. Grades sehr ähnlich. In der Mitte passieren komische Dinge. Es sieht in der Mitte ungefähr so aus. Aber uns interessiert das Verhalten im Unendlichen. Die gepunktete Linie, die ich eingezeichnet habe, können wir das Verhalten in der Mitte nennen. Das ist offensichtlich anders als bei einem Polynom 2. Grades. Aber was am Ende passiert ist gleich. Wenn du etwas mit 2 oder 4 potenzierst, oder generell mit einer geraden Zahl potenzierst, erhältst du für sehr positive Werte, solange a > 0 ist, positive Werte. Und für stark negative Werte erhältst du stark positive Werte. Du nimmst eine negative Zahl, potenzierst sie mit 4 oder mit 2, und erhältst einen positiven Wert. Und wenn a < 0 ist, hast du ein ähnliches Verhalten im Unendlichen wie hier. Für ein Polynom, dessen höchster Grad eine gerade Zahl ist, bei a < 0 ist das Verhalten im Unendlichen wenn a sehr stark negativ ist, sehr stark positiv. Wir multiplizieren es mit einer negativen Zahl, also wird es sehr stark negativ. Es sieht also so aus. Und genauso ist es, wenn x sehr stark positiv ist. Genau dasselbe. Denn du multiplizierst eine positive Zahl mit einem negativen a und in der Mitte sieht es ungefähr so aus. Aber sein Verhalten im Unendlichen ist dem eines Polynom 2. Grades sehr ähnlich. Wenn du das also ignorierst, ist sein Verhalten im Unendlichen sehr ähnlich. Dasselbe gilt wenn wir ein Polynom 5. Grades mit einem 3. Grades vergleichen. Die allgemeine Frage hier ist, was mit diesem Wert passiert, wenn wir sehr große oder sehr kleine x-Werte haben. Potenzieren wir es mit einer geraden Zahl? In diesem Fall würden wir sowohl für stark negative, als auch stark positive Werte als Ergebnis positive Werte erhalten. Und dann kommt es darauf an, was unser Koeffizient a ist. Oder potenzieren wir mit einer ungeraden Zahl? Ich zeige dir noch ein Beispiel zu einem Polynom 5. Grades, damit es verständlicher wird. Wenn ich etwas in der Form y = ax⁵ + bx⁴ + .... hätte, ich muss den Rest davon nicht einmal aufschreiben. Wenn a > 0 ist, würde es so aussehen. Sein Verhalten im Unendlichen ist dem eines Polynoms 3. Grades sehr ähnlich, bei dem a > 0 ist. Am Ende würde es so aussehen. Zwischendurch macht es vielleicht so komische Sachen, aber für sehr große x-Werte sieht es genauso aus wie ax³, wenn a > 0 ist. Wie gesagt, stark ähnliches Verhalten im Unendlichen wenn a > 0, und sehr ähnliches Verhalten im Unendlichen, wenn a < 0. Es würde so aussehen. Am Ende ist es bei einem negativen Wert positiv, da dieser Teil sehr negativ wird. Aber dann wird er mit einem negativen Wert multipliziert, und wir erhalten einen positiven Wert. Und für stark positive x-Werte wird es negativ. Weil nämlich dieser a-Term negativ sein wird. Das was in der Mitte passiert, ist für dieses Video nicht relevant. Was du dir also über das Verhalten im Unendlichen merken solltest, ist, dass, wenn du dir ein Polynom anschaust, dessen höchste Potenz gerade ist, es dasselbe Verhalten im Unendlichen hat wie ein Polynom 2. Grades. Wenn du die Mitte ignorierst, ist das, was bei stark negativen und stark positiven x-Werten passiert, einem Polynom 2. Grades sehr ähnlich. Und wenn du einen ungeraden Grad hast, hast du ein sehr ähnliches Verhalten im Unendlichen wie bei einem Polynom 3. Grades. Es können komische Sachen in der Mitte passieren, aber für ein a, egal, ob es größer oder kleiner 0 ist, wirst du entweder so ein Verhalten im Unendlichen haben, oder so eins.