Gerade/Ungerade Funktionen & Zahlen

Im letzten Video über gerade und ungerade Funktionen habe ich gesagt, du sollst gerade Funktionen und gerade Zahlen, und ungerade Funktionen und ungerade Zahlen nicht verwechseln. Und ich habe gesagt, dass es keine offensichtliche Verbindung zwischen geraden Funktionen und unserem Verständnis von geraden Zahlen gibt, oder eine Verbindung zwischen ungeraden Funktionen und ungeraden Zahlen. Und ich hatte Unrecht. Es gibt nämlich eine ziemlich offensichtliche Verbindung, auf die Youtube-User Nothias hingewiesen hat. Und ich habe diese Verbindung fast eindeutig im letzten Beispiel aufgezeigt. Als gerade Funktion habe ich x² vorgestellt. Als ungerade Funktion habe ich x³ vorgestellt. Eine weitere ungerade Funktion, die ich vorgestellt habe, war y = x bzw. f(x) = x¹. Und worauf Nothias hingewiesen hat, ist, dass diese archetypischen, einfachen Beispiele von geraden und ungeraden Funktionen, bei denen ich einfach nur ein einfaches x habe, das potenziert wird, man an der Potenz, die gerade oder ungerade ist, sieht, ob die Funktion gerade oder ungerade ist. Und du musst sehr vorsichtig sein: Nicht alle geraden oder ungeraden Funktionen haben Exponenten. Es könnten trigonometrische Funktionen sein. Oder irgendeine andere Art von komischer Funktion. Es muss keine Exponenten geben. Aber diese Exponenten sind wahrscheinlich der Grund dafür, warum diese Funktionen gerade und ungerade genannt werden. Ich möchte das deutlich machen. Es funktioniert auch nicht bei jedem Polynom, selbst im letzten Video, als wir x³ + 1 hatten, war das weder gerade noch ungerade. Aber wenn du nur ein x mit einer Potenz hast, dann ergeben die Regeln, nach denen wir sie gerade und ungerade nennen, plötzlich Sinn, wenn ich nämlich f(x) = x¹ habe, was dasselbe wie y = x ist, dann ist das ungerade. Und es passt zum Namen, da wir eine ungerade Potenz haben. Wenn wir f(x) = x² haben, ist das gerade, wie wir im vorherigen Video gesehen haben. Und das passt zu der Idee, dass wir eine gerade Potenz haben. Ich könnte so weitermachen. x³ wäre ungerade. Und so weiter. Ich schreibe es mal anders. Allgemein, wenn du f(x) = xⁿ hast, dann ist das eine ungerade Funktion, wenn n eine ungerade Zahl ist. Und es ist eine gerade Funktion, wenn n eine gerade Zahl ist. Ich möchte das sehr deutlich machen. Ich möchte in diesem Video einfach nur klarstellen, warum sie gerade oder ungerade Funktionen heißen. Nicht alle geraden Funktionen werden in dieser Form hier sein, bei der wir x mit irgendeiner geraden Potenz haben. Ebenso ist es bei ungeraden Funktionen. Ich will nicht, dass du verwirrt bist, wenn du eine Funktion wie z.B. x³ + 1 hast, bei der hinter dem x noch weitere Sachen stehen und dann denkst, "Oh, wir haben x³, das ist eine ungerade Zahl." Das hier ist aber keine ungerade Funktion. Du kannst diese Aussage wirklich nur treffen, wenn du eine reine Form wie z.B. x³ oder x¹ hast. Aber das ist der Grund, warum sie gerade oder ungerade Funktionen heißen. Und die anderen symmetrischen Funktionen, selbst wenn sie keinen Exponenten haben, das hier ist vielleicht eine Art trigonometrische Funktion, nennst du gerade, da sie dieselbe Art von Symmetrie wie z.B. x² oder x mit einem geraden Exponenten hat. Also fasst du sie alle als gerade Funktionen zusammen. Und all diese hier, egal, ob sie einen Exponenten haben oder nicht, haben dieselbe Art von Symmetrie wie x mit einem ungeraden Exponenten. Deshalb nennen wir sie ungerade Funktionen. Danke an Nothias, der darauf hingewiesen hat.