Anzahl möglicher reeller Wurzeln eines Polynoms

Wir haben hier ein Polynom. Wir haben eine Funktion p(x), die durch dieses Polynom definiert wird. Es ist eindeutig ein Polynom 7. Grades. Ich möchte herausfinden, wie viele mögliche reelle Nullstellen dieses Polynom hat. Wie viele mögliche reelle Nullstellen gibt es? Könnten wir z.B. 9 reelle Nullstellen haben? Ich ermutige dich, dieses Video zu pausieren, und über die mögliche Anzahl reeller Nullstellen nachzudenken. Ich nehme mal an, du hast es versucht. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt uns, dass wir definitiv 7 Nullstellen haben werden, von denen einige tatsächlich reell sein könnten. Also werden wir definitiv keine 8, 9, oder 10 reelle Nullstellen haben. Wir werden höchstens 7 reelle Nullstellen haben. Eine mögliche Anzahl von reellen Nullstellen ist also schon mal 7. 7 ist eine Möglichkeit. Wenn wir diese Funktion zeichnen, könnte sie möglicherweise 7-mal die x-Achse schneiden. Wäre es möglich, 6 reelle Nullstellen zu haben? Sind 6 reelle Nullstellen eine Möglichkeit? Denken wir darüber nach, was das über nicht-reelle, komplexe Nullstellen aussagen würde. Ich schreibe das nochmal anders auf. Reelle Nullstellen und dann nicht-reelle, komplexe. Ich schreibe nicht nur "komplex", da reelle Zahlen eine Untergruppe von komplexen Zahlen sind, aber das hier macht deutlich, dass wir über komplexe Zahlen reden, die nicht reell sind. Wir könnten also 7 reelle Nullstellen haben. Dann hätten wir 0 nicht-reelle Nullstellen, das wäre also absolut möglich. Könnten wir 6 reelle Nullstellen haben? Das würde bedeuten, dass wir 1 nicht-reelle Nullstelle haben. Nein, das kann nicht sein, da nicht-reelle, komplexe Nullstellen in konjugierten Paaren auftreten, also haben wir immer eine gerade Anzahl nicht-reeller, komplexer Nullstellen. Wir können also nicht nur eine haben, also können wir das ausschließen. Was ist mit 5 reellen Nullstellen? Das bedeutet, du würdest 2 nicht-reelle, komplexe haben, insgesamt 7, und das wäre möglich, da wir jetzt hier ein Paar haben. Ich glaube, du erkennst das Muster. Du kannst eine ungerade Anzahl reeller Nullstellen bis zu und einschließlich 7 haben. Das hier ist also möglich. Ich könnte weitermachen. 4 und 3 wäre nicht möglich, da ich dann hier eine ungerade Zahl habe. Du musst eine gerade Anzahl nicht-reeller, komplexer Nullstellen haben. Das schließen wir also aus. Aber 3 und 4 sind absolut möglich. Du hast 2 Paare nicht-reeller, komplexer Nullstellen. Dann kommen wir zu 2 und 5, und haben wieder eine ungerade Zahl. Sie treten aber in Paaren auf, also ist das unmöglich. Dann könntest du noch 1 reelle und 6 nicht-reelle Nullstellen haben. Absolut möglich, da das eine gerade Zahl ist. Zum Schluss könnten wir darüber nachdenken, 0 reelle und 7 nicht-reelle, komplexe Nullstellen zu haben. Und das ist nicht möglich, da diese hier immer in Paaren auftreten, deswegen haben wir hier immer eine gerade Zahl. Die mögliche Anzahl reeller Nullstellen ist also 7, 5, 3 oder 1 für dieses Polynom 7. Grades.