Der Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt aus, dass, wenn wir ein Polynom n-ten Grades haben, wenn ich z.B. die Funktion p(x) habe, und sie durch ein Polynom n-ten Grades definiert ist. Sagen wir einfach mal, es ist axⁿ + bxⁿ⁻¹ + usw. mit einem konstanten Term am Ende. Das ist also ein Polynom n-ten Grades. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt uns, dass dieses Polynom n-ten Grades exakt n Nullstellen haben wird. Es gibt exakt n Werte für x, die dafür sorgen, dass dieses Polynom, dieser Ausdruck rechts gleich 0 wird. Du denkst dir vielleicht, dass das Sinn ergibt. Du kennst Polynome 2. Grades, deren Graphen ungefähr so aussehen. Das ist die y-Achse und das ist die x-Achse. Wir wissen, dass ein Polynom 2. Grades eine Parabel definiert, und ungefähr so aussieht. Das ist der 2. Grad. Und du siehst, dass die Funktion an exakt 2 Stellen 0 wird. Sie hat exakt 2 Nullstellen. Sie hat 2 Nullstellen, das ist also im Einklang mit dem Fundamentalsatz der Algebra. Du kannst dir außerdem vorstellen, dass ein Polynom 3. Grades so aussieht. Das ist meine y-Achse. Das ist meine x-Achse. Du kannst dir ein Polynom 3. Grades ungefähr so vorstellen. Hoch, runter, hoch und es geht einfach weiter. Hier siehst du, dass es ein Polynom 3. Grades ist, und du siehst, dass es 3 Nullstellen hat. Ich könnte auch ein Polynom 4. Grades zeichnen. Es sieht ungefähr so aus. Und du denkst dir, dass das Sinn ergibt. Es hat nämlich 4 Nullstellen. Dann erinnerst du dich aber an Dinge, die sich nicht immer so verhalten. Wir haben z.B. sehr oft Parabeln bzw. Polynome 2. Grades gesehen, die eher so aussehen und nicht die x-Achse schneiden. Das scheint also dem Fundamentalsatz der Algebra zu widersprechen. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt, dass, wenn wir ein Polynom 2. Grades haben, es exakt 2 Nullstellen haben sollte. Das ist wichtig. Der Fundamentalsatz der Algebra erweitert unser Zahlensystem. Wir sprechen nicht nur über reelle Nullstellen, sondern über komplexe Nullstellen. Und der Fundamentalsatz der Algebra erlaubt es sogar diesen Koeffizienten, komplex zu sein. Wenn wir uns diese ersten Beispiele anschauen, waren das alles reelle Nullstellen, und reelle Zahlen sind eine Untergruppe von komplexen Zahlen. Hier hatten wir 2 reelle Nullstellen. Hier hatten wir 3 reelle Nullstellen. In dieser orangefarbenen Funktion hatten wir 4 reelle Nullstellen. In dieser gelben Parabel hier drüben, diesem Polynom 2. Grades, haben wir keine reellen Nullstellen. Deswegen schneidet es nicht die x-Achse, aber wir haben 2 komplexe Nullstellen. Das hier drüben hat also 2 komplexe Nullstellen. Und die nicht-reellen, komplexen Nullstellen, da reelle Zahlen eine Untergruppe der komplexen Zahlen sind, kommen immer in Paaren, und das werden wir in zukünftigen Videos sehen. Wenn du z.B. ein Polynom 3. Grades hast, sieht es ungefähr so aus. Ein Polynom 3. Grades sieht ungefähr so aus, es hat 1 reelle Nullstelle, aber nach dem Fundamentalsatz der Algebra muss es 2 andere Nullstellen haben, da es 3. Grades ist, also wissen wir, dass die beiden anderen Nullstellen nicht-reelle, komplexe Nullstellen sein müssen. Gibt es eine Situation, in der du ein Polynom 3. Grades mit 3 komplexen Nullstellen haben könntest? Kannst du also 3 nicht-reelle, komplexe Nullstellen haben? Ist das möglich bei einem Polynom 3. Grades? Die Antwort ist nein, denn komplexe Nullstellen, was ich in zukünftigen Videos zeigen werde, kommen immer in Paaren. Sie kommen immer in Paaren, in denen sie konjugierte Zahlen voneinander sind. Du könntest also z.B. ein Polynom 4. Grades ohne reelle Nullstellen haben. Das ungefähr so aussieht. In diesem Fall hättest du 2 Paare komplexer Nullstellen, oder 4 nicht-reelle, komplexe Nullstellen, und du könntest sie in 2 Paare gruppieren, bei denen du in jedem Paare konjugierte Zahlen hast, und das sehen wir im nächsten Video.