Quadratische Gleichungen & Fundamentalsatz der Algebra

Nehmen wir an, dass wir eine Funktion f(x) haben, die durch das Polynom 2. Grades 5x² + 6x + 5 definiert wird. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt aus, dass, weil es sich um ein Polynom 2. Grades handelt, wir exakt 2 Nullstellen haben. Anders formuliert: Es gibt exakt 2 Werte für x, bei denen f(x) = 0 wird. Ich ermutige dich, dieses Video zu pausieren, und herauszufinden, welche 2 Werte dies für x sind. Wenn wir also nach den x-Werten suchen, die dazu führen, dass dieser Ausdruck = 0 wird, ist das dasselbe, wie diese Gleichung = 0 zu setzen. 5x² + 6x + 5 = 0. Mir fällt jetzt keine Faktorisierung hierfür ein, also wende ich einfach die quadratische Formel an. Die quadratische Formel sagt uns, dass x, wobei x eine Lösung dieser Gleichung ist, gleich -b sein muss. -b. Das hier drüben ist b. Wir haben -b, also -6 + oder - √(b² - 4ac). Und all das dividiert durch 2a. Wie können wir das vereinfachen? Das hier ergibt also -6 + oder - die Wurzel von... Was steht unter der Wurzel? Das ist 36 - 100. Also -64, und das alles dividiert durch 2 ⋅ 5. Also dividiert durch 10. Das ist interessant. Wir versuchen, die Wurzel einer negativen Zahl zu ziehen. Oder anders betrachtet: b² - 4ac ist < 0. b² - 4ac, was auch oft als die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung bezeichnet wird. Das ist kleiner als 0. In diesem Teil der quadratischen Formel versuchen wir, die Wurzel einer negativen Zahl zu ziehen. Das hier ist eine negative Zahl. Also werden wir eine imaginäre Zahl erhalten. Wir erhalten also keine 2 reellen Nullstellen, sondern 2 non-reelle, komplexe Nullstellen. Das ergibt also -6 + oder - 8i. Die Quadratwurzel von -64 ist 8i, wenn wir die Wurzelfunktion auf imaginäre oder komplexe Zahlen erweitern. Und all das dividiert durch 10. Wir könnten auch den größten gemeinsamen Teiler finden. Sie sind alle durch 2 teilbar, also haben wir -3/5, das ist dasselbe wie -6/10, + oder - 4/5 i. Du kannst auch sagen, dass die beiden Nullstellen, nicht-reelle, komplexe Nullstellen sind. x = - 3/5 + 4/5i ist eine der Nullstellen. Die andere Nullstelle ist x = -3/5 - 4/5i. Wir haben den Fundamentalsatz der Algebra erfüllt. Wir haben 2 nicht-reelle Nullstellen, aber der Fundamentalsatz der Algebra sagt aus, dass, wenn wir ein Polynom n-ten Grades haben, n komplexe Nullstellen haben. Sie können reell oder nicht-reell sein, das sehen wir hier. Und wir sehen auch, dass sie konjugierte Zahlen voneinander sind. Die quadratische Formel sorgt für eine Situation, besonders wenn dieser Teil hier kleiner als 0 ist, und du dadurch beim Ziehen der Wurzel eine imaginäre Zahl erhältst, dass diese konjugierten Zahlen erscheinen. Jetzt können wir noch graphisch bestätigen, dass es in der Tat so ist, dass diese Funktion keine reellen Nullstellen hat. Ich benutze einen Taschenrechner. y1 = 5x² + 6x + 5. Dann stelle ich noch einen Ausschnitt ein. Ich weiß nur sehr wenig über diese Funktion. Also setze ich den Minimalwert auf -10 und den Maximalwert auf 10. Skalierung ist 1. Dieser Term hier wird sehr schnell sehr groß. Setzen wir den Maximalwert für y einfach auf 100. Ich stelle die Skalierung auf 10. Jeder Strich steht dann für 10. Wir wollen die x-Achse sehen, damit wir sehen können, dass die Funktion sie nicht schneidet, also setzen wir den Minimalwert für y auf -20. Jetzt wird die Funktion dargestellt. Hier siehst du also, dass diese Funktion die x-Achse nicht schneidet. Wir können sogar heranzoomen. Ich ändere den Ausschnitt der Darstellung noch ein bisschen. Ich setze den Minimalwert von x auf -5. Und den Maximalwert von x auf 5. Ich setze den Maximalwert von y auf 20, und ändere die Skalierung von y auf 2. Dadurch sind wir näher an der Funktion dran. Jetzt sehen wir es: Sie schneidet nicht die x-Achse. Sie hat keine reellen Nullstellen, aber sie hat 2 nicht-reelle, komplexe Nullstellen.