Nullstellen von Polynomen bestimmen (1 von 2)

Wir haben hier das Polynom 5. Grades p(x) und sollen mehrere Dinge tun. Zuerst sollen wir die reellen Nullstellen finden. Was war noch mal eine Nullstelle? Eine Nullstelle ist der x-Wert, der dafür sorgt, dass das Polynom = 0 wird. Die reellen Nullstellen sind also die x-Werte, bei denen p(x) = 0 ist. Die x-Werte, die das erfüllen, nennen sich Nullstellen. Und wir wollen die reellen. Später lernst du, dass es auch imaginäre Nullstellen geben kann. Dann wollen wir herausfinden, wie oft wir die x-Achse schneiden. Die Anzahl der einzigartigen reellen Nullstellen ist auch die Anzahl der Male, die wir die x-Achse schneiden. Woher weiß ich das? Denken wir uns einfach ein zufälliges Polynom aus. Das sind meine Achsen. Das ist die x-Achse, das ist die y-Achse. Ich zeichne einfach ein zufälliges Polynom ein. Sagen wir einfach, es sieht so aus. Was passiert hier drüben? Bei diesem x-Wert sehen wir durch den Graphen der Funktion, dass p(x) = 0 ist. Das ist also eine Nullstelle. Das ist auch eine Nullstelle, da an diesem x-Wert die Funktion = 0 ist. Und bei diesem x-Wert ist die Funktion = 0. Und bei diesem x-Wert ist die Funktion = 0. Wenn wir auf der x-Achse sind, ist der y-Wert = 0. Also ist die Funktion = 0. Das ist ein Graph von y = p(x). Nicht unbedingt dieses p(x), aber ein anderes, zufälliges p(x). Es gibt also einen x-Wert, der diese Funktion = 0 werden lässt. Das ist ein Punkt, an dem wir die x-Achse schneiden. Wir wollen also wissen, wie viele Male wir die x-Achse schneiden. Wie wir sehen, ist es dieselbe Anzahl wie die Anzahl der reellen Nullstellen, die wir haben. Dann sollen wir den kleinsten Wert aller Nullstellen herausfinden, und zwar für dieses gegebene Polynom. Fangen wir also an. Wir wollen p(x) = 0 lösen. Wir setzen also dieses Polynom gleich 0 und lösen die Gleichung auf. Wir wollen diese Gleichung lösen. Wenn ich die x-Werte, die dafür sorgen, dass es = 0 wird, in die Funktion einsetze, dann bekomme ich eine Funktion, die 0 ergibt. Okay. Das erste, was dir vielleicht auffällt, ist, dass all diese Terme durch x dividerbar sind. Also klammere ich das gerne direkt am Anfang aus. Wir schreiben es also in x (x⁴ + 9x² - 2x² - 18) = 0 um. Jetzt fällt dir vielleicht etwas anderes auf. Wir hatten hier 2 Terme 3. Grades. Nachdem wir ein x ausgeklammert haben, haben wir 2 Terme 2. Grades. Du willst sie vielleicht addieren, und das wäre eine völlig legitime Methode, das hier zu faktorisieren, damit wir diese Gleichung lösen können. Aber anstatt das zu machen, nehmen wir es als einen Hinweis, dass wir eventuell durch Gruppierung faktorisieren können. Denk dran: Wenn du durch Gruppierung faktorisiert, teilst du den mittleren Term auf, und schaust, ob du das Distributivgesetz zweimal rückgängig machen kannst. Schauen wir mal, ob das funktioniert. Können wir diese ersten beiden Terme gruppieren und etwas Interessantes ausklammern? Und diese zweiten beiden Terme gruppieren und etwas Interessantes ausklammern? Und dann können wir vielleicht noch etwas ausklammern. Das ist dasselbe wie x (x² (x² + 9)). Und hier drüben, wenn ich eine -2 ausklammere, erhalte ich -2 (x² + 9). Das ist interessant, denn es zeigt uns, dass wir vielleicht ein (x² + 9) ausklammern können. Ich klammere also von jedem dieser Terme ein (x² + 9) aus, und erhalte x(x² + 9) (x² - 2)). Die grüne Klammer ist etwas zu weit rechts. Ich lösche sie, und mache die Klammer zu. Ich kann die grünen Klammern auch löschen, wenn ich es etwas vereinfachen möchte. Bis jetzt haben wir es als x(x² + 9)(x² - 2) faktorisiert. Und ich faktorisiere es, da ich, wenn ich herausfinde, dass das Produkt von ein paar Ausdrücken 0 ergibt, weiß, dass das Produkt dieser Ausdrücke 0 ergibt, wenn einer oder mehrere dieser Ausdrück gleich 0 sind. Und dann kann ich nach x auflösen. Schauen wir mal. Das hier ist komplett faktorisiert, wenn wir reelle Nullstellen betrachten. Das hier kannst du als eine Differenz von Quadraten betrachten, wenn du 2 als √2² betrachtest. Wir können es also umschreiben, und all das ergibt natürlich 0. Das ergibt also x(x² + 9)(x + √2)(x - √2). Ich schreibe es einfach als eine Differenz von Quadraten. Wir wollen diesen ganzen Ausdruck 0 setzen und lösen. Wie ergibt es 0? Ich nehme das Produkt und wenn einer dieser Ausdrücke 0 ergibt, erhalte ich 0. x könnte also gleich 0 sein. Das gibt uns eine Nullstelle. Wenn x = 0 ist, ist dieses Polynom = 0, und das ist sehr leicht zu überprüfen. Kann x² + 9 = 0 ergeben? Wenn du 9 von beiden Seiten subtrahierst, erhältst du x² = -9. Deswegen habe ich gesagt, es gibt keine reelle Lösung dafür. Es gibt imaginäre Lösungen, aber keine reellen Lösungen. Kann x + √2 = 0 ergeben? Klar, wenn wir √2 von beiden Seiten subtrahieren, erhalten wir x = -√2. Und kann x - √2 = 0 ergeben? Natürlich, du addierst √2 zu beiden Seiten, und erhältst x = √2. Fertig. Wir haben unsere Nullstellen gefunden. x könnte gleich 0 sein. p(0) = 0. p(-√2) = 0. Und p(√2) = 0. Das sind also unsere Nullstellen. Die Nullstellen sind an den Punkten 0, -√2 und √2. Das sind also die 3 Male, an denen wir die x-Achse schneiden. Was ist der kleinste der 3 Werte, an denen wir die x-Achse schneiden? Die kleinste Zahl ist -√2. Du könntest es auch anders lösen. Du könntest diesen Teil hier nehmen, und die beiden mittleren Terme addieren, und dann nicht durch Gruppierung faktorisieren, und ich ermutige dich, das zu tun. Aber nur, um dir zu zeigen, dass es Sinn ergibt, dass die Nullstellen die Stellen sind, an denen die x-Achse geschnitten wird. Ich habe auf Wolfram|Alpha dieses Polynom zeichnen lassen und das hier als Ergebnis erhalten. Wenn du ein Polynom 5. Grades hast, weißt du, dass es bis zu 5 reelle Nullstellen hat, aber wenn es imaginäre Nullstellen hat, dann hat es keine 5 reellen Nullstellen. Dieses hier hat 3. Das liegt daran, dass die imaginären Nullstellen, über die wir mehr in der Zukunft reden werden, in konjugierten Paaren auftreten. Wenn du also keine 5 reellen Nullstellen hast, ist die nächste Möglichkeit, dass du 3 reelle Nullstellen hast. Und wenn du keine 3 reellen Nullstellen hast, ist die nächste Möglichkeit, dass du 1 reelle Nullstelle hast. Das ist also ziemlich interessant. Hier siehst du also deine 3 reellen Nullstellen. Du siehst deine 3 reellen Nullstellen, die den x-Werten entsprechen, bei denen die Funktion 0 ergibt, und sie die x-Achse schneidet.