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Pascalsches Dreieck und die binomische Ausmultiplikation

Sal stellt das Pascalsche Dreieck vor und zeigt, wie wir damit die Koeffizienten beim Ausmultiplizieren von Binomen berechnen können. Erstellt von Sal Khan

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Video-Transkript

Im vorherigen Video haben wir den Binomischen Lehrsatz angewandt, um herauszufinden, was (a + b)⁴ ergibt, und diesen Term zu entwickeln. Und das haben wir getan. Es war etwas aufwändig, aber du hast hoffentlich dadurch etwas gelernt. Es wäre nützlich, uns noch höhere Potenzen, wie z.B. (a + b)⁷ oder (a + b)⁸ anzuschauen, aber in diesem Video möchte ich dir zeigen, dass es noch einen Lösungsweg gibt, und zwar mithilfe des Pascalschen Dreiecks. Wenn wir noch Zeit haben, schauen wir uns an, warum diese beiden Ideen sich so ähnlich sind. Anstatt also (a + b)⁴ mit dem traditionellen Binomischen Lehrsatz zu lösen, nutze ich das Pascalsche Dreieck und einige der Muster, die wir von der Entwicklung kennen. Ich schreibe also auf, was wir berechnen wollen. Wir wollen (a + b)⁴ berechnen. Ich zeichne jetzt ein Pascalsches Dreieck. Ich beginne mit einer 1 ganz oben. Es ist ein Dreieck, bei dem du oben beginnst, und auf jeder Ebene die verschiedenen Wege zählst, auf denen du zu den verschiedenen Knoten gelangen kannst. Ich zeichne also ein Dreieck. Wenn ich hier anfange, gibt es nur einen Weg hierher zu kommen, und nur einen Weg, dorthin zu kommen. Auf der dritten Ebene habe ich wie viele Wege, um dorthin zu kommen? Ein Weg nach hier, ein Weg nach dort, also zwei Wege hierher zu kommen. Ein Weg nach hier, ein Weg nach dort. Es gibt nur diesen Weg, um dahin zu kommen, und diesen Weg, um dorthin zu kommen. Aber um hierhin zu kommen, könnte ich diesen oder diesen anderen Weg wählen. Dann können wir eine vierte Ebene hinzufügen, und es gibt nur einen Weg um hierhin zu kommen, aber drei Wege um dorthin zu kommen. 1 + 2. Wieso gibt es drei Wege? Du könntest hier entlang gehen, hier entlang, oder dort entlang. Hier gilt dasselbe: Es gibt drei Wege, um zu diesem Punkt zu gelangen. Und es gibt nur einen Weg, um zu diesem Punkt hier drüben zu gelangen. Wir fügen eine fünfte Ebene hinzu, denn das ist die wichtigste, wenn wir uns die vierte Potenz anschauen. Das ist die nullte Potenz, erste Potenz, zweite Potenz, dritte Potenz. Jetzt kommen wir zur vierten Potenz. Wie viele Wege gibt es, um dorthin zu gelangen? Ich gehe die linke Seite gerade herunter, also gibt es nur einen Weg. Es gibt vier Wege, um hierhin zu gelangen. Ich könnte hier entlang, hier entlang, hier entlang oder hier entlang gehen. Es gibt sechs Wege, um hierher zu kommen. Drei Wege, um hierher zu gelangen, Drei Wege, um dorthin zu gelangen. Also sechs Wege, um hierhin zu gelangen. Wenn du Zeit hast, kannst du das herausfinden. Es gibt 3 + 1, also vier Wege, um hierhin zu gelangen. Und es gibt einen Weg, um dorthin zu gelangen. Ich behaupte jetzt, dass das die Koeffizienten sind, wenn ich etwas hoch 0 nehme. Das hier ist, wenn ich ein Binom mit erster Potenz habe, mit zweiter Potenz. Bei einem Binom erster Potenz sind die Koeffizienten von a und b natürlich einfach nur 1 und 1. Aber wenn du zur zweiten Potenz kommst, wäre es a² + 2ab + b². Wenn du die dritte Potenz nimmst, sind das hier die Koeffizienten. Und diese hier bei der vierten Potenz. Wir schreiben sie also auf. Ich sage, dass die Koeffizienten 1, 4, 6, 4 und 1 sind. Woher weiß ich, welche Potenzen a und b haben? Ich beginne mit dem ersten Term a bei der höchsten Potenz: a⁴. Und dann gehe ich von da aus runter. a⁴, a³, a², a¹, und ich könnte sogar a⁰ schreiben, was einfach nur 1 ist. Beim zweiten Term beginne ich bei der niedrigsten Potenz, also 0. Dann habe ich b¹, b², b³, b⁴, und dann addiere ich diese Terme. Fertig. Ich habe die Entwicklung von (a + b)⁴ herausgefunden. Das ist das, was ich aufgeschrieben habe. Dieser Term a⁴ ist dieser Term hier unten. 1a⁴b⁰ ist einfach nur a⁴. Dieser Term hier ist derselbe wie dieser hier unten. Du siehst also, dass ich dadurch dasselbe Ergebnis erhalten habe. Die Frage ist: Warum funktioniert es? Pausiere das Video, und denke selbst darüber nach. Um zu verstehen, warum es funktioniert, schauen wir uns die ersten Ebenen hier drüben an. Wenn wir nur (a + b)² haben, rechnen wir (a + b) ⋅ (a + b). Wir haben ein a hier und eins da. Wir haben ein b hier und eins da. Wir addieren sie, und wenn du sie dann multiplizierst, rechnest du a ⋅ a, was a² ergibt. Das ist der einzige Weg, um a² zu erhalten. Es gibt nur einen Weg, um einen a²-Term zu erhalten. Dann haben wir + a ⋅ b. Und dann rechnen wir + b ⋅ a, also haben wir noch ein a ⋅ b. + b ⋅ b, was b² ergibt. Das ist interessant. Wie viele Wege gibt es, um einen a²-Term zu erhalten? Es gibt nur einen Weg. Du multiplizierst dieses a mit diesem a. Es gibt nur einen Weg. Wie viele Wege gibt es, um den b²-Term zu erhalten? Es gibt nur einen Weg. Multipliziere dieses b mit diesem b. Es gibt nur einen Weg. Aber wie viele Wege gibt es, um den ab-Term zu erhalten? Den a¹b¹-Term. Es gibt zwei Wege. Du kannst dieses a mit diesem b multiplizieren, oder dieses b mit diesem a. Es gibt also zwei Wege, um einen ab-Term zu erhalten. Wenn du also die Summe von beiden nimmst, erhältst du a² + 2ab + b². Es sind exakt dieselben Koeffizienten: 1, 2, 1 und 1, 2, 1. Warum ist das so? Nun ja, es gibt nur einen Weg, einen a²-Term zu erhalten, es gibt zwei Wege, einen ab-Term zu erhalten, und es gibt nur einen Weg, einen b²-Term zu erhalten. Wenn du die dritte Potenz nimmst, gibt es nur einen Weg, um a³ zu erhalten, da du die ersten a-Terme miteinander multipliziert. Und es gibt nur einen Weg, um b³ zu erhalten. Aber es gibt drei Wege, um a²b zu erhalten. Und du könntest es ausmultiplizieren, und das haben wir getan. Das haben wir hier oben gemacht. Es gibt drei Wege, um a²b zu erhalten. Das haben wir hier gesehen. Und es gibt drei Wege, um ab² zu erhalten. Und wenn du das als Summe aufschreibst, hast du die Entwicklung von (a + b)³. Ich hoffe, das hilft dir weiter.