Binome ausmultiplizieren

Wir haben (3y² + 6x³)⁵. Wir könnten jetzt den Binomischen Lehrsatz oder das Pascalsche Dreieck benutzen, um die Entwicklung davon zu finden. Ich möchte mich aber als Übung auf nur einen der Terme konzentrieren, und zwar auf den Term, der irgendeinen Koeffizienten ⋅ x⁶y⁶ hat. In dieser Entwicklung hat also ein Term x⁶y⁶, und ich möchte den Koeffizienten dieses Terms herausfinden. Pausiere das Video, und versuche, es selbst herauszufinden. Ich nehme mal an, du hast es probiert. Du warst vielleicht am Anfang etwas verwirrt. Ich potenziere mit 5, wie erhalte ich x⁶y⁶? Aber wenn du dir die eigentlichen Terme des Binoms anschaust, fällt es dir auf. Ich habe einen y²-Term, ich habe einen x³-Term, wenn ich diese Terme also potenziere, erhalte ich Potenzen, die höher als 5 sind. Aber um herauszufinden, welcher dieser Terme x⁶y⁶ hat, schauen wir uns das Muster in der eigentlichen Entwicklung an, ohne über die Koeffizienten nachzudenken. Wir haben das bereits gesehen, dass du den ersten Terms des Binoms nimmst, und bei der Potenz beginnst, mit der wir das gesamte Binom potenzieren. Und in jedem folgenden Term haben wir jeweils eine niedrigere Potenz. Ich kopiere es einfach. Das ist der erste Term, das ist der zweite, der dritte Term, vierte Term, der fünfte Term und der sechste Term. Es gibt sechs Terme, da wir immer einen Term mehr als die Zahl der Potenz haben. Schauen wir uns jetzt den zweiten Term an. Der zweite Term ist (6x³). Ich kopiere ihn wieder. Ich füge ihn an den entsprechenden Stellen ein. Der letzte passt nicht mehr ganz auf den Bildschirm. Er ist hier drüben. Mal schauen, ob wir bis dahin kommen. Jetzt fügen wir die Exponenten hinzu. Die Exponenten sind ⁵, ⁴, ³, ², ¹ und ⁰. Bei dem blauen Term 6x³ haben wir zuerst ⁰, dann ¹, ², ³, ⁴ und dann haben wir hier drüben ⁵. Und dann haben wir natürlich noch die Koeffizienten davor. Jeder Ausdruck hat noch einen Koeffizienten vor sich stehen. Wir haben also einen Koeffizienten hier, hier und vor allen anderen, und dann addieren wir sie alle zusammen. Aber welcher dieser Terme ist derjenige, über den wir gesprochen haben? Welcher hat x⁶y⁶? Wenn wir hier y² mit 4 potenzieren ergibt das y⁸, also kann es dieser Term nicht sein. Hier haben wir (y²)³, das ergibt y⁶, und hier haben wir (x³)², das ergibt x⁶. Jetzt fragen wir uns, welcher Koeffizient vor diesem Term steht. Wenn du es so aufgeschrieben hast, ist es der dritte Term, der uns interessiert. Welchen Koeffizienten haben wir hier also? Achtung: Dieser Koeffizient, den wir hier hinschreiben, den wir mithilfe des Binomischen Lehrsatzes herausfinden können, ist nicht das hier. Die eigentliche Lösung unserer Aufgabe ist das Produkt dieses Koeffizienten, und all den anderen Koeffizienten, die wir hier haben. Weil wir nämlich 3³ und 6² multiplizieren, also müssen wir herausfinden, was das ergibt. Wir finden jetzt aber zuerst heraus, wie dieser Term in der Entwicklung aussieht. Wofür dieser gelbe Teil eigentlich steht. Es gibt mehrere Lösungsansätze. Wir könnten das Pascalsche Dreieck oder Kombinatorik verwenden. Wenn wir Kombinatorik verwenden, wissen wir, dass dieser Koeffizient hier 0 aus 5 sein wird. Der Koeffizient hier ist 1 aus 5. Du kennst das bereits. Die 5 ist die Potenz, mit der wir das gesamte Binom potenzieren, und die untere Zahl ist der Exponent des zweiten Terms. Das ist also 1 aus 5. Und dieser Koeffizient hier in gelb ist 2 aus 5. Was ist 2 aus 5? Es ist dasselbe wie 5! / (2! ⋅ (5 - 2))!. Was ergibt das? 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2. ⋅ 1 dazuschreiben ändert den Wert nicht. Aber ich schreibe ⋅ 1 doch auf, damit es eindeutig ist. 2! = 2 ⋅ 1. Das hier ergibt 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1. Die 3 oben und unten kürzen sich weg. Die 2 oben und die 2 unten kürzen sich weg, die 1er ändern den Wert nicht und 4 /2 = 2. Das ergibt also 2. Also bleibt 5 ⋅ 2 = 10 übrig. Das ist also die Zahl hier drüben. Das ist eine 10. Wir hätten auch das Pascalsche Dreieck verwenden können. Wir hätten das Dreieck zeichnen können. Bei der zweiten Potenz sind 1, 2 und 1 die Koeffizienten. Bei der dritten Potenz sind die Koeffizienten 1, 3, 3 und 1. Bei der vierten Potenz sind die Koeffizienten 1, 4, 6, 4 und 1. Und bei der fünften Potenz, die für uns interessant ist, sind die Koeffizienten 1, 5, 10, 10, 5 und 1. Und wir wissen, dass das der dritte Term ist, also ist das hier unser Koeffizient. Der dritte Term. Wir wissen also, dass das eine 10 ist. Kommen wir zurück zu unserer ursprünglichen Frage. Was haben wir hier stehen? Mit was multiplizieren wir x⁶y⁶? Wir müssen diesen Ausdruck neu aufschreiben. 10 ⋅ 3³ ⋅ (y²)³ bzw. y⁶, ⋅ 6² ⋅ (x³)² bzw. x⁶, Das ergibt 10 ⋅ 27 ⋅ 36. Dann haben wir natürlich noch unser x⁶ und y⁶. Wir rechnen also 270 ⋅ 36. Ich hätte es auch schriftlich rechnen können, aber das geht schneller. 270 ⋅ 36 = 9720. Das ist also unser Koeffizient hier. Wir haben also 9720x⁶y⁶. Und wir sind fertig.