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Video-Transkript

Faktorisiere 27x⁶ + 125. Das ist eine ziemlich interessante Aufgabe. Du kannst sie nur lösen, wenn du sie als spezielle Form erkennst. Ich möchte dir die spezielle Form zuerst zeigen, und dann können wir das Muster wiederholen. Das ist etwas, dass du einfach wissen musst. Man kann diskutieren, ob du es wirklich wissen musst. Aber um diese Aufgabe zu lösen, musst du es wissen. Was bekommst du, wenn du a² - ab + b² mit a + b multiplizierst? Wir erhalten ein Produkt, da wir multiplizieren. Wir führen jetzt also eine algebraische Multiplikation durch. b ⋅ b² = b³. b ⋅ (-ab) = -ab². b ⋅ a² = a²b. Jetzt multiplizieren wir den oberen Term mit a. a ⋅ b² = ab². a ⋅ (-ab) = -a²b. a ⋅ a² = a³. Jetzt müssen wir alle Terme addieren. Wir haben einmal +ab² und einmal -ab². Das kürzt sich weg. Wir haben einmal -ab² und einmal +ab². Das kürzt sich weg. Es bleibt also nur a³ + b³ übrig. Oder du betrachtest es so, dass, wenn dir jemand a³ + b³ gibt, es in diese beiden Ausdrücke faktorisiert werden kann. Es kann in (a + b) ⋅ (a² - ab + b²) faktorisiert werden. Das ist also die spezielle Form. Wenn du eine Summe von Kubikzahlen hast, kann sie als Summe der Kubikwurzeln mal diesem Ausdruck ausgeklammert werden. Wir haben eben gezeigt, dass es funktioniert. Schauen wir also, ob wir hier auch diese spezielle Form haben. 27 ist definitiv die Kubikzahl von 3. 3³ = 27. x⁶ ist außerdem die Kubikzahl von x². Wenn du (x⁶)^1/3 nimmst, erhältst du x². Dieser erste Term hier drüben kann also als (3x²)³ geschrieben werden. Und der zweite Term ist +5³. Das ist vielleicht etwas verwirrend. Wiederholungen schaden nicht. Rechnen wir also 3x² ⋅ 3x² ⋅ 3x². Das ist dasselbe wie 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ x² ⋅ x² ⋅ x². Dieser Teil hier ergibt 27. x² ⋅ x² = x⁴. x⁴ ⋅ x² = x⁶. Oder du nimmst beide hoch 3. 3³ = 27. (x²)³. Wenn du einen Exponenten potenzierst, nimmst du das Produkt der Exponenten. Also rechnest du x² ⋅ ³ und erhältst x⁶. Jetzt kennen wir dieses Muster. Also können wir es benutzen. Wir haben die Summe der Kubikzahlen. Durch die Verwendung dieses Musters können wir sie faktorisieren. Das ist dasselbe wie 3x², das ist unser a. Das ist unser b. Das ist also a + b. Es ist also (3x² + 5) ⋅ a². (3x²)². Denken wir kurz darüber nach. Das ergibt 9x⁴. Also haben wir 9x⁴ minus das Produkt dieser beiden Dinge. Also minus das Produkt von 5 und 3x², also - 15x². Und schließlich + b². b ist 5. Also haben wir 5², also + 25. b ist nur 5, nicht die ganze 5³. Und nur dieser Teil ist a. Fertig. Ich erkläre es in diesem Video nicht im Detail, aber wir können das hier nicht weiter faktorisieren, wenn wir reelle Zahlen betrachten. Also sind wir fertig damit. Denk dran: Das ist ein sehr spezieller Fall, in dem wir die Summe von Kubikzahlen erkennen konnten.