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Zeichne die reellen Nullstellen des gegebenen Polynoms in den unten abgebildeten Graphen ein. Gegeben ist: p(x) = 2x⁵ + x⁴ - 2x - 1. Wir können Punkte durch Klicken in den Graphen einzeichnen. Wir können so viele einzeichnen, wie wir wollen und können sie auch verschieben. Und wenn wir sie löschen wollen, können wir sie in diese Tonne hier unten rechts ziehen. Denken wir darüber nach, welche Nullstellen dieses Polynom hat. Es sieht anfangs etwas abschreckend aus. Das ist ein Polynom fünften Grades. Ein Polynom fünften Grades zu faktorisieren ist eine Kunst. Du musst nach Mustern schauen. Wenn verlangt wird, die Nullstellen zu finden, ohne Computer oder Taschenrechner zu benutzen, dann muss es eine Art Muster geben, das du hier finden kannst. Wir haben p(x) = 2x⁵ + x⁴ - 2x - 1. Normalerweise wird beim Faktorisieren von dieser Art von Polynom das Distributivgesetz quasi mehrere Male rückgängig gemacht. Wenn du es mit Techniken zum Faktorisieren von quadratischen Funktionen vergleichen willst, ist es quasi Faktorisierung durch Gruppierung. Du siehst hier z.B. etwas, das wie 2x - 1 aussieht. Und hier drüben hast du 2x⁵ + x⁴. Du hast also 2x eines höhergradigen Terms plus 1x eines Terms, der einen Grad niedriger ist. Es scheint hier also eine Art Muster zu geben. 2x eines höhergradigen Terms, hier ein Term ersten Grades, minus 1, das könntest du auch als x⁰ schreiben, also minus einen Term niedrigeren Grades. Denken wir darüber nach. Was passiert, wenn wir diese zwei Terme und diese zwei Terme jeweils gruppieren? Und wir wollen Dinge ausklammern, um es etwas zu vereinfachen, und um zu sehen, ob es Sinn ergibt. Der größte gemeinsame Teiler dieser beiden Terme ist x⁴. Wir könnten es als x⁴ ⋅ (2x + 1) schreiben. Und das ist schon mal sehr gut, denn es sieht dem anderen Term sehr ähnlich, insbesondere wenn wir hier -1 ausklammern. Wir könnten also eine -1 ausklammern. Dann ergibt das hier (2x + 1). Und das ist wunderbar, denn jetzt können wir (2x + 1) von jedem dieser Terme ausklammern. Wir haben also ein (2x + 1). Wir klammern beide aus und schreiben (2x + 1). Und wenn du diesen Term hier ausklammerst, bleibt x⁴ übrig. Und wenn du diesen Term ausklammerst, bleibt nur -1 übrig. Und das ist aufregend, denn bei (2x + 1) ist es ziemlich einfach, herauszufinden, wann es 0 ergibt. Das machen wir gleich. Es ist sehr einfach zu faktorisieren. Es ist eine Differenz von Quadraten. Es kann als (x² + 1) ⋅ (x² - 1) umgeschrieben werden. Und natürlich haben wir vorne immer noch (2x + 1) stehen. Und wir haben hier wieder eine Differenz von Quadraten. Das ist dasselbe wie (x + 1) (x - 1). Ich schreibe nochmal die anderen Teile des Ausdrucks auf: (x² + 1). Und (2x + 1). Ich glaube ich habe p(x) so weit faktorisiert, wie von mir erwartet werden kann. p(x) ergibt also das alles. Denk dran: Ich habe diese Gleichung faktorisiert, weil ich herausfinden will, wann sie 0 ergibt. Wenn p(x) also als Produkt von diesen Ausdrücken dargestellt werden kann, wird es 0, wenn mindestens einer dieser Ausdrücke 0 ergibt. Wenn irgendeiner hier von 0 ergibt, wird dieser ganze Ausdruck 0. Wann ergibt also 2x + 1 = 0 ? 2x + 1 = 0. Du kannst es wahrscheinlich im Kopf ausrechnen, aber wir können es auch schriftlich machen. Du subtrahierst 1 von beiden Seiten und erhältst 2x = -1. Du dividierst beide Seiten durch 2 und erhältst x = -1/2. p(-1/2) = 0. Das hier ist also ein Punkt auf dem Graphen und eine der Nullstellen. Jetzt wollen wir den nächsten Ausdruck lösen: x² + 1 = 0. Wir wollen, dass x² links alleine steht und subtrahieren 1 von beiden Seiten. Wir erhalten x² = -1. Wenn wir über imaginäre Zahlen nachdenken, könnten wir herausfinden, was x ist. Aber gefragt sind die reellen Nullstellen. Es gibt keine reelle Zahl, die quadriert -1 ergibt. Wir werden also keine reelle Nullstelle herausfinden, wenn wir das mit 0 gleichsetzen. Es gibt keine reelle Zahl x, bei der x² + 1 = 0 ist. Jetzt überlegen wir, wann x + 1 = 0 sein könnte. Wir subtrahieren 1 von beiden Seiten, und erhalten x = -1. Wir wissen also, dass p(-1) = 0 ist. Wir haben also eine weitere Nullstelle gefunden. Und schließlich wollen wir wissen, wann x - 1 = 0 ist. Wir addieren 1 zu beiden Seiten. x = 1. Also haben wir hier eine weitere reelle Nullstelle. Wir können sie also einzeichnen. Wir haben -1, -1/2 und 1. Wir können unsere Antwort überprüfen und sie ist richtig. Du denkst dir vielleicht, dass ich zufällig exakt auf die richtige Art und Weise gruppiert habe. Was, wenn du anders gruppierst? Schauen wir es uns mal an. Das könnte interessant sein. Nur um dir zu zeigen, dass es kein Hexenwerk ist, und es mehrere Wege gibt, die Aufgabe zu lösen. Anstatt es also so zu schreiben, wo wir den höchstgradigen Term und dann den zweithöchsten usw. haben, kannst du es so schreiben: p(x) = 2x⁵ - 2x + x⁴ - 1. Selbst bei dieser Schreibweise könnten wir eine interessante Gruppierung durchführen. Wenn du diese beiden gruppierst, siehst du dass sie den gemeinsamen Teiler 2x haben. Du klammerst 2x aus und erhältst 2x (x⁴ - 1). Du siehst, was hier passiert. Das hier können wir als + 1 (x⁴ - 1) umschreiben. Und jetzt kannst du ein (x⁴ - 1) ausklammern. Übrig bleibt: (x⁴ - 1) (2x + 1), was sich jetzt sehr viel leichter faktorisieren lässt. Eine Differenz von Quadraten. Genau das, was wir letztes Mal gemacht haben. Es gibt also mehrere Wege, wie du gruppieren und das Distributivgesetz rückgängig machen kannst. Aber ich gebe zu, dass es eine Kunst ist. Du musst ein bisschen ausprobieren, und die ersten beiden Terme gruppieren, um zu sehen, ob sie einen gemeinsamen Teiler haben. Dann gruppierst du die nächsten beiden Terme, um zu sehen, ob sie einen gemeinsamen Teiler haben. Sobald die gemeinsamen Teiler ausgeklammert sind, merkst du, dass beide dieser Terme diesen Ausdruck als Teiler haben. Und dann kannst du diesen auch ausklammern.