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Video-Transkript

Wir sollen 40x³ - 5d³ faktorisieren. Das erste, was dir wahrscheinlich auffällt, ist, dass 5 ein Faktor in beiden Termen ist. Ich könnte es auch als 5 ⋅ 8c³ - 5d³ schreiben. Du kannst also eine 5 ausklammern. Wenn du das machst, erhältst du 5 (8c³ - d³). Wenn du faktorisierst, wendest du quasi das Distributivgesetz rückwärts auf die 5 an. Und wenn du es so aufschreibst, fällt dir vielleicht auf, dass 8 eine perfekte Kubikzahl ist. Es ist 2³. c³ ist offensichtlich einfach c³. Und dann haben wir d³. Das hier ist also eine Differenz von Kubikzahlen. Ich schreibe es nochmal auf: 8 ist dasselbe wie 2³. Du kannst es also umschreiben: Diesen Term hier können wir in (2c)³ umschreiben, da wir 2³ ⋅ c³ rechnen. Das ergibt 8c³. Und dann haben wir - d³. Dadurch haben wir eine Differenz von Kubikzahlen. Und du kannst eine Differenz von Kubikzahlen faktorisieren. Und du kennst vielleicht das Muster. Wenn ich a³ - b³ habe, kann das hier als (a - b) ⋅ (a² + ab + b²) faktorisiert werden. Wenn du mir nicht glaubst, dann ermutige ich dich, es auszumultiplizieren, und du wirst a³ - b³ erhalten. Du erhältst ein paar Terme die sich wegkürzen und es bleiben nur zwei Terme übrig. Und obwohl es hier nicht zutrifft, ist es gut zu wissen, dass die Summe von Kubikzahlen ebenfalls faktorisierbar ist. Du kannst sie in (a + b) (a² - ab + b²) faktorisieren. Ich werde es nicht ausmultiplizieren, aber ich ermutige dich, das zu tun. Du benötigst nur ein wenig Polynom-Multiplikation. Dann kannst du dir beweisen, dass es in der Tat stimmt. Nehmen wir nun an, dass das der Fall ist, und wir das Muster einfach wiederholen können. In diesem Fall ist unser a = 2c und unser b = d. Ich schreibe es auf. a = 2c, b = d. Wir haben -b³ und -d³, also müssen b und d dasselbe sein. Dieser Teil hier drinnen lässt sich also als a - b schreiben. a ist also 2c, minus b, was hier d ist. Es wird als die Differenz der zwei Dinge, die ich als Kubikzahl nehme, faktorisiert. (2c - d). Jetzt habe ich a² = 2c². 2c² ist dasselbe wie 4c². a² = (2c)² = 4c² Es ist also 4c² + a ⋅ b. Das ist also 2c ⋅ d, also + 2c ⋅ d. Und schließlich + b² und in unserem Fall b = d. Also + d². Fertig. Wir haben ausgeklammert. Du könntest sogar ein Paar Klammern weglassen. Es kann als 5 (2c - d)(4c² + 2cd + d²) faktorisiert werden. Wir sind fertig.