Umkehrfunktionen prüfen durch Zusammensetzen

Wir haben f(x) = (x + 7)³ - 1. Und g(x) = ³√(x + 1) - 7. Ich möchte jetzt herausfinden, was f(g(x)) ist. Und ich möchte herausfinden, was g(f(x)) ist. Ich ermutige dich, das Video zu pausieren und das zu probieren. Finden wir zuerst heraus, was f(g(x)) ist. Das bedeutet, dass g(x), also dieser Ausdruck hier, unser Input ist. Also ersetzen wir überall, wo wir ein x in der Definition von f(x) sehen, es komplett mit g(x). Was ergibt also f(g(x))? Ich sehe hier ein x, also ersetze ich es durch g(x). Ich erhalte also (³√(x + 1) - 7 + 7)³ -1. Da ich mir f(g(x)) anschaue, habe ich überall da, wo ich ein x gesehen habe, es mit der Definition von g(x) ersetzt, nämlich ³√(x + 1) - 7. Lass es uns vereinfachen. Wir haben -7 und +7 also kürzt sich das weg. Das ergibt also ³√(x + 1)³ - 1. Wenn ich die dritte Wurzel von (x + 1) ziehe und das dann hoch 3 nehme, bekomme ich einfach x + 1. Aus diesem Teil wird also x + 1. Dann subtrahiere ich 1, also wird alles einfach nur zu x vereinfacht. Es bleibt also x übrig. f(g(x)) ist also einfach nur x. Finden wir nun heraus, was g(f(x)) ist. Ich schreibe es nochmal auf. Überall, wo ich ein x sehe, kann ich stattdessen f(x) schreiben. Das habe ich letztes Mal nicht gemacht, ich habe es direkt mit der Definition von f(x) ersetzt. Aber damit du weißt, was ich tue: überall wo ich ein x sehe, ersetze ich es mit einem f(x). ³√(f(x) + 1) - 7. Das ergibt ³√((x + 7)³ - 1 + 1) - 7. Zum Glück kürzen sich -1 und +1 weg. Als nächstes ziehen wir die dritte Wurzel von (x + 7)³. Das ergibt einfach x + 7, da dieser ganze Teil sich auf x + 7 vereinfachen lässt. Und dann subtrahieren wir 7. +7 und -7 kürzen sich weg, also bleibt nur noch x übrig. Das ist interessant. f(g(x)) = x, und g(f(x)) = x. Wenn wir in diesem Fall einen x-Wert in die Funktion g einsetzen, und g(x) erhalten, und das in die Funktion f einsetzen, führt uns f(g(x)) zurück zu x. Also sind wir quasi im Kreis gelaufen. Und dasselbe passiert hier. Wenn ich x in die Funktion f einsetze, und f(x) als Ergebnis erhalte, und das in die Funktion g einsetze, laufe ich quasi im Kreis und komme wieder bei x an. Das sind beides zusammengesetzte Funktionen. Das ist nun die Menge aller möglichen Inputs in jede dieser zusammengesetzten Funktionen, und das hier sind die Outputs bzw. Ergebnisse. Du beginnst mit einem x. g ist eine Zuordnung von x nach g(x). Das ist es, was g macht. Die Funktion g ordnet von x zu einem Wert g(x) zu. Wenn du dann f auf diesen Wert g(x) anwendest, kommst du wieder zurück zu x. Das ist also f(g(x)). Und umgekehrt. Wenn du mit x beginnst, und zuerst f(x) anwendest, kommst du zu diesem Wert. Das ist also f(x). Du hast also die Funktion f angewendet. Wenn du darauf die Funktion g anwendest, kommst du zurück. Das ist also g(f(x)). Wir wenden die Funktion g auf den Wert f(x) an, und da wir uns in jede Richtung im Kreis bewegen, wissen wir, dass die Funktionen g und f Umkehrfunktionen voneinander sind. Wir können sogar schreiben, dass f(x) = g^-1(x) ist. Und umgekehrt: g(x) = f^-1(x). Ich hoffe, das hilft dir weiter.