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Umkehrfunktionen prüfen durch Zusammensetzen: nicht invers

Video-Transkript

Wir haben f(x) = 2x - 3, und g(x) = 1/2x + 3. In diesem Video möchte ich herausfinden, was f(g(x)) ergibt, und dann herausfinden, was g(f(x)) ist. Also zuerst f(g(x)) und dann genau andersherum, nämlich g(f(x)). Beginnen wir mit f(g(x)). Ich ermutige dich, das Video zu pausieren, und die Aufgabe selbst zu lösen. Was ergibt also f(g(x))? Überall, wo wir ein x in der Definition von f(x) sehen, ersetzen wir es durch g(x). Wir erhalten also 2⋅g(x) - 3. Und das ergibt dann 2 (1/2x + 3) - 3. Jetzt können wir die 2 ausmultiplizieren, 2 ⋅ 1/2x = x. 2 ⋅ 3 = 6. Also erhalten wir x + 6 - 3. Und das ergibt x + 3. Interessant. Das ist f(g(x)). Sehen wir uns an, was g(f(x)) ist. Anstatt x haben wir f(x) als Input. g(f(x)) = 1/2 ⋅ f(x) + 3. Du kannst das x hier oben als Platzhalter für unseren Input betrachten. Und jetzt ist unser Input f(x). Das ist also 1/2 ⋅ f(x). Was ist f(x)? Es ist 2x - 3. Wir haben also 1/2 (2x - 3) + 3. Jetzt können wir 1/2 ausmultiplizieren. 1/2 ⋅ 2x = x. 1/2 ⋅ (-3) = - 3/2. Und wir haben noch eine +3. 3 ist dasselbe wie 6/2. Also rechnen wir 6/2 - 3/2 = 3/2. Das ergibt also x + 3/2. Wir haben also verschiedene Ergebnisse für f(g(x)) und g(f(x)) bekommen. Wir sind also nicht im Kreis gelaufen und wieder bei x angekommen. Wir wissen also, dass sie keine Umkehrfunktionen voneinander sind. Wir hätten sogar nur eine der Rechnungen durchführen müssen, um das zu wissen. Sie sind keine Umkehrfunktionen. Also können wir f(x) ≠ g^-1(x) schreiben. g(x) ≠ f^-1(x). Damit sie Umkehrfunktionen voneinander sein könnten, müsstest du einen x-Wert hier drüben haben, und wenn du ihn in g einsetzen würdest, würde dich das zu g(x) hier drüben bringen. Das ist die Funktion g. Und wenn du dann f darauf anwenden würdest, würdest du an denselben Ort zurückkommen. g^-1 würde uns also zum selben Ort zurückbringen. Und wie du siehst, sind wir nicht zum selben Ort zurückgekommen. Wir sind nicht zu x zurückgekommen, sondern zu x + 3. Genau dasselbe gilt hier drüben. Wir sehen, dass wir nicht zu x zurückgekommen sind, sondern zu x + 3/2. Sie sind also definitiv keine Umkehrfunktionen voneinander.