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Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 1

Lektion 8: Überprüfen ob Funktionen Inversen sind

Umkehrfunktionen prüfen durch Zusammensetzen

Durch Komposition zweier Funktionen f und g können wir überprüfen ob f die Umkehr Funktion von g (und umgekehrt) ist. Zum Beispiel, sind f(x)=5x-7 und g(x)=x/5+7 Umkehrfunktionen voneinander?

Dieser Artikel enthält viele Kompositionsfunktionen. Wenn du Hilfe zu diesem Thema brauchst, empfehlen wir, dass du hierhin gehst, bevor du diesen Artikel liest.

Umkehrfunktionen, im allgemeinsten Sinne, sind Funktionen, die einander ,,umkehren''. Zum Beispiel, wenn eine Funktion

a

auf

b

abbildet, dann bildet die Umkehrfunktion

b

auf

a

ab.

Lass uns z.B. die Funktionen

f

und

g

ansehen:

f (x) = \frac{x + 1}{3}

und

g (x) = 3 x - 1

Beachte

f (5) = 2

und

g (2) = 5

Hier sehen wir, dass wir wenn wir erst

f

und dann

g

anwenden, wir das ursprüngliche Argument zurück erhalten. Als Komposition geschrieben ist dies

g (f (5)) = 5

Aber damit zwei Funktionen Umkehrfunktion voneinander sind, müssen wir zeigen, dass dies für alle mögliche Argumente unabhängig von der Reihenfolge passiert, in der

f

und

g

angewendet werden. Dies ergibt die Kompositionensregel für Umkehrfunktionen.

Die Kompositionensregel für Umkehrfunktion

Folgenden Bedingungen müssen gelten, damit zwei Funktionen

f

und

g

die Umkehrfunktionen voneinander sind:

$f (g (x)) = x$ ‍ für alle $x$ ‍ im Definitionsbereich von $g$ ‍
$g (f (x)) = x$ ‍ für alle $x$ ‍ im Definitionsbereich von $f$ ‍

Dies ist so, weil

f

und

g

Umkehrfunktionen voneinander sind, das Zusammensetzen von

f

und

g

(in beliebiger Reihenfolge), erzeugt die Funktion, die für jede Eingabe diese Eingabe zurückgibt. Wie nennen diese Funktion ,,die Identische Abbildung''.

Beispiel 1: Die Funktionen $f$ ‍ und $g$ ‍ sind Umkehrfunktionen voneinander.

Lass uns die Regel der Umkehrkomposition verwenden, um zu verifizieren, dass obige

f

und

g

tatsächlich die Umkehrfunktionen sind.

Erinnere dich daran, dass

f (x) = \frac{x + 1}{3}

und

g (x) = 3 x - 1

Lass uns

f (g (x))

und

g (f (x))

bestimmen.

$f (g (x))$ ‍	$g (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (g (x)) & = \frac{g (x) + 1}{3} \\ = \frac{3 x - 1 + 1}{3} \\ = \frac{3 x}{3} \\ = x \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} g (f (x)) & = 3 (f (x)) - 1 \\ = 3 (\frac{x + 1}{3}) - 1 \\ = x + 1 - 1 \\ = x \end{aligned}$ ‍

Die Funktionen

f

und

g

sind Umkehrfunktionen voneinander, weil

f (g (x)) = x

und

g (f (x)) = x

sind.

Beispiel 2: Die Funktionen $f$ ‍ und $g$ ‍ sind nicht Umkehrfunktionen voneinander.

Wenn

f (g (x))

oder

g (f (x))

nicht gleich

x

ist, können

f

und

g

keine Umkehrfunktionen voneinander sein.

Lass uns dies versuchen für

f (x) = 5 x - 7

und

g (x) = \frac{x}{5} + 7

$f (g (x))$ ‍	$g (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (g (x)) & = 5 (g (x)) - 7 \\ = 5 (\frac{x}{5} + 7) - 7 \\ = x + 35 - 7 \\ = x + 28 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} g (f (x)) & = \frac{f (x)}{5} + 7 \\ = \frac{5 x - 7}{5} + 7 \\ = x - \frac{7}{5} + 7 \\ = x + \frac{28}{5} \end{aligned}$ ‍

Also ist die Funktionen

f

nicht die Umkehrfunktion von

g

(und umgekehrt), weil

f (g (x)) \neq x

und

g (f (x)) \neq x

sind.

(Beachte hier, dass wir hätten folgern können, dass

f

und

g

nicht Umkehrfunktionen voneinander waren, nach dem wir gezeigt hatten, dass

f (g (x)) = x + 28

Überprüfe dein Verständnis

Um zu überprüfen, ob

f

und

g

Umkehrfunktionen sind, können wir sie im Allgemeinen komponieren. Wenn das Ergebnis

x

ist, sind die Funktionen Umkehrfunktionen voneinander. Ansonsten ist dies nicht der Fall.

1) $f (x) = 2 x + 7$ ‍ und $h (x) = \frac{x - 7}{2}$ ‍

Schreibe vereinfachte Ausdrücke für $f (h (x))$ ‍ und $h (f (x))$ ‍ in Bezug auf $x$ ‍.

f (h (x)) =

h (f (x)) =

Sind die Funktionen $f$ ‍ und $h$ ‍ Umkehrfunktionen voneinander??

$f (h (x))$ ‍	$h (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (h (x)) & = 2 (h (x)) + 7 \\ = 2 (\frac{x - 7}{2}) + 7 \\ = x - 7 + 7 \\ = x \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} h (f (x)) & = \frac{(f (x)) - 7}{2} \\ = \frac{2 x + 7 - 7}{2} \\ = \frac{2 x}{2} \\ = x \end{aligned}$ ‍

2) $f (x) = 4 x + 10$ ‍ und $g (x) = \frac{1}{4} x - 10$ ‍

Schreibe vereinfachte Ausdrücke für $f (g (x))$ ‍ und $g (f (x))$ ‍ in Bezug auf $x$ ‍.

f (g (x)) =

g (f (x)) =

Sind die Funktionen $f$ ‍ und $g$ ‍ Umkehrfunktionen voneinander?

$f (g (x))$ ‍	$g (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (g (x)) & = 4 (g (x)) + 10 \\ = 4 (\frac{1}{4} x - 10) + 10 \\ = x - 40 + 10 \\ = x - 30 \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} g (f (x)) & = \frac{1}{4} (f (x)) - 10 \\ = \frac{1}{4} (4 x + 10) - 10 \\ = x + 2, 5 - 10 \\ = x - 7, 5 \end{aligned}$ ‍

3) $f (x) = \frac{2}{3} x - 8$ ‍ und $h (x) = \frac{3}{2} (x + 8)$ ‍

Schreibe vereinfachte Ausdrücke für $f (h (x))$ ‍ und $h (f (x))$ ‍ in Bezug auf $x$ ‍.

f (h (x)) =

h (f (x)) =

Sind die Funktionen $f$ ‍ und $h$ ‍ Umkehrfunktionen voneinander??

$f (h (x))$ ‍	$h (f (x))$ ‍
$\begin{aligned} f (h (x)) & = \frac{2}{3} (h (x)) - 8 \\ = \frac{2}{3} (\frac{3}{2} (x + 8)) - 8 \\ = x + 8 - 8 \\ = x \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} h (f (x)) & = \frac{3}{2} (f (x) + 8) \\ = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x - 8 + 8) \\ = \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x) \\ = x \end{aligned}$ ‍

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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 1

Die Kompositionensregel für Umkehrfunktion

Beispiel 1: Die Funktionen f‍ und g‍ sind Umkehrfunktionen voneinander.

Beispiel 2: Die Funktionen f‍ und g‍ sind nicht Umkehrfunktionen voneinander.