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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 1

Lektion 8: Überprüfen ob Funktionen Inversen sind
Mathematik
Algebra 2
Funktionen
Überprüfen ob Funktionen Inversen sind
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Umkehrfunktionen prüfen durch Zusammensetzen

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Durch Komposition zweier Funktionen f und g können wir überprüfen ob f die Umkehr Funktion von g (und umgekehrt) ist. Zum Beispiel, sind f(x)=5x-7 und g(x)=x/5+7 Umkehrfunktionen voneinander?
Dieser Artikel enthält viele Kompositionsfunktionen. Wenn du Hilfe zu diesem Thema brauchst, empfehlen wir, dass du hierhin gehst, bevor du diesen Artikel liest.
Umkehrfunktionen, im allgemeinsten Sinne, sind Funktionen, die einander ,,umkehren''. Zum Beispiel, wenn eine Funktion a auf b abbildet, dann bildet die Umkehrfunktion b auf a ab.
Lass uns z.B. die Funktionen f und g ansehen: f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction und g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
Beachte f, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 2 und g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 5.
Hier sehen wir, dass wir wenn wir erst f und dann g anwenden, wir das ursprüngliche Argument zurück erhalten. Als Komposition geschrieben ist dies g, left parenthesis, f, left parenthesis, 5, right parenthesis, right parenthesis, equals, 5.
Aber damit zwei Funktionen Umkehrfunktion voneinander sind, müssen wir zeigen, dass dies für alle mögliche Argumente unabhängig von der Reihenfolge passiert, in der f und g angewendet werden. Dies ergibt die Kompositionensregel für Umkehrfunktionen.

Die Kompositionensregel für Umkehrfunktion

Folgenden Bedingungen müssen gelten, damit zwei Funktionen f und g die Umkehrfunktionen voneinander sind:
  • f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x für alle x im Definitionsbereich von g
  • g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x für alle x im Definitionsbereich von f
Dies ist so, weil f und g Umkehrfunktionen voneinander sind, das Zusammensetzen von f und g (in beliebiger Reihenfolge), erzeugt die Funktion, die für jede Eingabe diese Eingabe zurückgibt. Wie nennen diese Funktion ,,die Identische Abbildung''.

Beispiel 1: Die Funktionen f und g sind Umkehrfunktionen voneinander.

Lass uns die Regel der Umkehrkomposition verwenden, um zu verifizieren, dass obige f und g tatsächlich die Umkehrfunktionen sind.
Erinnere dich daran, dass f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, 3, end fraction und g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1.
Lass uns f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis und g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis bestimmen.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=g(x)+13=3x−1+13=3x3=x\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=\dfrac{\greenD{g(x)}+1}{3}\\\\&=\dfrac{\greenD{3x-1}+1}{3}\\\\&=\dfrac{3x}{3}\\\\&=x\\\end{aligned}g(f(x))=3(f(x))−1=3(x+13)−1=x+1−1=x\qquad\qquad \begin{aligned}g(\purpleC{f(x)})&=3\left(\purpleC{f(x)}\right)-1\\\\&=3\left(\purpleC{\dfrac{x+1}{3}}\right)-1\\\\&=x+1-1\\\\&=x\\\end{aligned}
Die Funktionen f und g sind Umkehrfunktionen voneinander, weil f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x und g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x sind.

Beispiel 2: Die Funktionen f und g sind nicht Umkehrfunktionen voneinander.

Wenn f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis oder g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis nicht gleich x ist, können f und g keine Umkehrfunktionen voneinander sein.
Lass uns dies versuchen für f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5, x, minus, 7 und g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, divided by, 5, end fraction, plus, 7.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesisg, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
f(g(x))=5(g(x))−7=5(x5+7)−7=x+35−7=x+28\begin{aligned} f(\greenD{g(x)})&=5(\greenD{g(x)})-7\\\\&=5\left(\greenD{\dfrac{x}{5}+7}\right)-7\\\\&=x+35-7\\\\&=x+28\end{aligned}\qquad g(f(x))=f(x)5+7=5x−75+7=x−75+7=x+285\qquad\begin{aligned} g(\purpleC{f(x)})&=\dfrac{\purpleC{f(x)}}{5}+7\\\\&=\dfrac{\purpleC{5x-7}}{5}+7\\\\&=x-\dfrac75+7\\\\&=x+\dfrac{28}{5}\\\end{aligned}
Also ist die Funktionen f nicht die Umkehrfunktion von g (und umgekehrt), weil f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x und g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, does not equal, x sind.
(Beachte hier, dass wir hätten folgern können, dass f und g nicht Umkehrfunktionen voneinander waren, nach dem wir gezeigt hatten, dass f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals, x, plus, 28.)

Überprüfe dein Verständnis

Um zu überprüfen, ob f und g Umkehrfunktionen sind, können wir sie im Allgemeinen komponieren. Wenn das Ergebnis x ist, sind die Funktionen Umkehrfunktionen voneinander. Ansonsten ist dies nicht der Fall.

1) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 7 und h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 7, divided by, 2, end fraction

Schreibe vereinfachte Ausdrücke für f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis und h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis in Bezug auf x.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
Sind die Funktionen f und h Umkehrfunktionen voneinander??
Wähle eine Lösung.

2) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, x, plus, 10 und g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction, x, minus, 10

Schreibe vereinfachte Ausdrücke für f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis und g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis in Bezug auf x.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
g, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
Sind die Funktionen f und g Umkehrfunktionen voneinander?
Wähle eine Lösung.

3) f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, x, minus, 8 und h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 3, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, plus, 8, right parenthesis

Schreibe vereinfachte Ausdrücke für f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis und h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis in Bezug auf x.
f, left parenthesis, h, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
h, left parenthesis, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis, equals
Sind die Funktionen f und h Umkehrfunktionen voneinander??
Wähle eine Lösung.

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