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Funktionstransformationen erkennen

Video-Transkript

Diese rote Kurve ist der Graph von f(x). Und diese blaue Kurve ist der Graph von g(x). Und ich möchte g(x) in Form von f(x) ausdrücken. Schauen wir uns also an, was sie gemeinsam haben. Wir suchen uns einen beliebigen x-Wert aus. Wir könnten direkt hier am Scheitel von f(x) anfangen. Und wir sehen, dass zumindest an diesem Punkt g(x) genau 1 Einheit höher ist. Also ist g(2) = f(2) + 1. Überprüfen wir mal, ob das für jedes x gilt. Wir testen das mal hier. f(4) ist genau hier. g(4) ist 1 Einheit höher. f(6) ist genau hier. g(6) ist 1 Einheit höher. Es sieht also so aus, als könnten wir jeden Punkt hier aussuchen, obwohl es eine optische Illusion gibt, wodurch es so aussieht, als würden sie aneinander näher kommen. Sie kommen sich näher, wenn du versuchst, die kürzeste Entfernung zwischen beiden zu finden. Aber wenn du dir die vertikale Entfernung anschaust, siehst du, dass sie konstant bei 1 bleibt. Also können wir das verallgemeinern. Es stimmt für jedes x. g(x) = f(x) + 1. Kommen wir zu weiteren Beispielen. Hier drüben haben wir wieder f(x) in Rot und hier haben wir g(x). Nehmen wir z.B. x = -4. Hier ist f(-4). Und wir sehen, dass g(-4) 2 weniger als das ist. Und wir sehen, dass egal, was f(x) ist, egal welchen x-Wert wir einsetzen, g(x) scheint genau 2 weniger zu sein. g(x) ist genau 2 weniger. In diesem Fall, ähnlich wie bei dem ersten, ist g(x) = f(x), aber anstatt zu addieren, subtrahieren wir 2 von f(x). f(x) - 2. Kommen wir zu weiteren Beispielen. Hier haben wir wieder f(x) in Rot. Und hier ist g(x). Denken wir kurz darüber nach. Wir suchen uns einen beliebigen Punkt aus. Sagen wir, dieser Punkt in Rot hier drüben hat den Wert von f(-3). Das ist -3. Das ist der Punkt (-3|f(3)). g erreicht denselben Wert wenn x = -1. Denken wir darüber nach. g(-1) = f(-3). Das können wir mit einigen Punkten machen. Wir sehen, dass g(0) gleich f(-2) ist. Ich schreibe das auf. g(0) = f(-2). Wir könnten weitermachen. Wir könnten g(1) nehmen, der hier drüben ist. Das ist 1. g(1) = f(-1). Ich glaube, du erkennst das Muster. Egal, welcher Wert in g eingesetzt wird, er ist gleich der Funktion mit 2 weniger als der hier eingesetzte Wert. Wir können also sagen, dass g(x) = f(x - 2) ist. Also f(x - 2). Das ist die Beziehung. g(x) = f(x - 2). Es ist wichtig, zu verstehen, dass, wenn ich hier f(x - 2) habe, denk daran, dass die Funktion untersucht wird, das ist, was wir einsetzen. Wir setzen x - 2 ein. Wenn ich die 2 subtrahiere, verschiebt es die Funktion nach rechts, was etwas verwirrend ist, wenn du diese Übung hier nicht gemacht hast. g(x) = f(x - 2). Bei f(x + 2) hätten wir f nach links verschoben. Lass uns über das hier nachdenken. Es sieht etwas verrückt aus. Zuerst einmal sieht g(x) fast wie ein Spiegelbild aus, nur etwas flacher. Wir zeichnen das Spiegelbild von g(x) ein. Mal sehen. Hier ist es bei ungefähr 2, hier ist es fast bei 1. Und dann ungefähr hier. Das Spiegelbild würde also ungefähr so aussehen. Es ist das Spiegelbild, das entlang der x-Achse gespiegelt wurde. Es sieht ungefähr so aus. Wenn das g(x) ist, und wir es so spiegeln, ist das -g(x). Wenn x = 4, sieht es bei g(x) so aus als wäre es -3,5. Wenn du ein Minus davorsetzt, wird es positiv. Du erhältst also +3,5, wenn du das exakte Spiegelbild nimmst. Das ist also -g(x). Aber wir sind noch nicht am Ziel. Es sieht so aus, als müssten wir diesen Wert für jeden Punkt verdreifachen. Du kannst es hier sehen. Hier haben wir 2, aber wir müssen 6 erreichen. Hier haben wir 1, aber wir müssen 3 erreichen. Es sieht also so aus, als wäre dieser rote Graph hier das Dreifache dieses Graphs. Das ist also 3 mal (-g(x)), was -3g(x) ergibt. Hier haben wir f(x) = -3g(x). Wenn wir nach g(x) auflösen bzw. in Form von f(x) schreiben wollen, würden wir beide Seiten durch -3 dividieren, g(x) = -1/3f(x).