Funktionen verschieben - Beispiele

Wir haben diese zwei Graphen, die sich sehr ähnlich sehen, y = f(x) und y = g(x). Wir sollen nun eine Formel für die Funktion g in Form von f schreiben. Überlegen wir also, wie wir das machen. Pausiere das Video, und versuche, die Aufgabe selbst zu lösen. Ich möchte mir diesen Minimalpunkt hier anschauen, da das sehr einfach ist, da beide Graphen diesen Minimalpunkt hier haben. Wir fragen uns also: Wie verschieben wir f? Besonders diesen Minimalpunkt, wie verschieben wir ihn, damit er mit g überlappt? Als erstes fällt auf, dass wir nach links verschieben wollen. Und wir wollen um 4 nach links verschieben. Ich nehme dafür eine neue Farbe. Ich möchte also um 4 nach links verschieben. Wir haben um 4 nach links bzw. um -4 verschoben. Beides ist richtig. Und dann verschieben wir nach unten. Wir wollen von y = 2 auf y = -5 kommen. Das mache ich also. Wir verschieben um 7 nach unten bzw. wir haben eine Verschiebung von -7. Wie drücken wir also g(x) aus, wenn sie eine Version von f(x) ist, die um 4 nach links und 7 nach unten verschoben wurde? Ich habe eine horizontale Verschiebung von -4 und eine vertikale Verschiebung von -7. Ein Ansatz ist, dass g(x) = f(x), minus der horizontalen Verschiebung, also (x minus der horizontalen Verschiebung) plus (der vertikalen Verschiebung) ist. Was für eine horizontale Verschiebung haben wir? Wir verschieben nach links, also ist es eine negative Verschiebung. Also ist unsere horizontale Verschiebung -4. Und unsere vertikale Verschiebung? Wir haben nach unten verschoben, also ist unsere vertikale Verschiebung -7. Fertig. Wir erhalten g(x) = f(x + 4) - 7). Fertig. Wenn ich mir das anschaue, ist die -7 für mich etwas intuitiver. Ich habe es nach unten verschoben, und es macht Sinn, dass ich -7 habe. Am Anfang denkst du vielleicht: "Ich habe nach links verschoben, warum habe ich + 4?" Um den gleichen Wert aus der Funktion zu erhalten, wenn du den Wert von f(0) erhalten willst, musst du jetzt x = -4 einsetzen. Und dann erhältst du den gleichen Wert. Du bekommst immer noch 0. Ich weiß nicht, ob du es jetzt besser verstehst, aber oft hilft es, verschiedene Werte für x auszuprobieren, um zu sehen, wie es die Funktion verschiebt. Wenn du diesen Teil, die horizontale Verschiebung verstehen willst, empfehle ich dir, ein Beispiel anzuschauen, dass nur eine horizontale Verschiebung hat. Dadurch wird es etwas intuitiver. Wir haben viele Videos, die das sehr detailliert erklären. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Hier haben wir in lila y = g(x) und in blau y = f(x). Angenommen, dass f(x) = √(x + 4) - 2 ist, schreibe einen Ausdruck für g(x) in der Form von x. Zuerst schreibe ich einen Ausdruck für g(x) in Form von f(x). Wir sehen, dass es einfach eine verschobene Version von f(x) ist. Und denk daran, ich schreibe es nochmal auf. g(x) = f(x - der horizontalen Verschiebung) + der vertikalen Verschiebung. Welche horizontale Verschiebung haben wir, um von f auf g zu kommen? Wir nehmen diesen Punkt hier, der nach der Verschiebung auf diesem Punkt liegen sollte. Die horizontale Verschiebung ist 2 nach links bzw. -2. Das ist also -2. Welche vertikale Verschiebung haben wir? Bei der vertikalen Verschiebung gehen wir von y = -2 auf y = 3. Wir verschieben also 5 nach oben bzw. haben wir eine vertikale Verschiebung von +5. Die vertikale Verschiebung ist 5. Wenn wir einfach nur g(x) in der Form von f(x) schreiben wollen würden, wie wir es im vorherigen Beispiel getan haben, könnten wir sagen, dass g(x) = f(x + 2) + 5 ist. Aber das ist nicht unsere Aufgabe. Wir sollen einen Ausdruck für g(x) in Form von x schreiben. Wir benutzen hier also die Definition von f(x). Wir wissen, dass f(x) = √(x + 4) - 2 ist. Was ist also f(x + 2)? f(x + 2) = ? Überall, wo ein x steht, ersetzen wir es durch x + 2. √( x + 2 + 4) - 2. Das ergibt √(x + 6) - 2. Okay. Das ist nur f(x + 2). Was ist f(x + 2) + 5? Es ist dieser Ausdruck hier plus 5. Es ergibt also √(x + 6) -2 + 5. Unser Endergebnis ist also √(x + 6) + 3. Das ist gleich g(x). Was haben wir gemacht? Zuerst habe ich g(x) in Form von f(x) ausgedrückt. Um von f(x) auf g(x) zu kommen, haben wir 2 nach links verschoben. Es ist etwas verwirrend, +2 bedeutet eine Verschiebung von 2 nach links. -2 würde eine Verschiebung von 2 nach rechts bedeuten. Es ist hilfreich, einige x-Werte auszuprobieren, um zu sehen, warum das Sinn ergibt. Und dann haben wir um 5 nach oben verschoben. Das war also g(x) in Form von f(x). Dann wurde uns gesagt, was f(x) in Form von x ist. Wir haben uns gefragt: "Was ist f(x + 2)?" Wir haben x durch x + 2 ersetzt und das erhalten. Aber g(x) ist f(x + 2) + 5. Wir haben also das Ergebnis von f(x + 2) genommen, und 5 hinzuaddiert, um g(x) zu erhalten. Und wir sind fertig.