Feststellen, ob eine Funktion umkehrbar ist

f ist eine endliche Funktion, deren Definitionsbereich aus den Buchstaben a bis e besteht. Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse für jeden Input aus dem Definitionsbereich von f. Wenn x = a ist, dann bekommen wir -6 als Ergebnis, wenn wir a in unsere Funktion einsetzen. f(a) = -6. Wenn wir b einsetzen, erhalten wir 3, wenn wir c einsetzen, erhalten wir -6, wenn wir d einsetzen, erhalten wir 2, wenn wir e einsetzen, erhalten wir -6. Wir sollen nun das Zuordnungsdiagramm für f darstellen, indem wir die Endpunkte der Segmente im unteren Graphen verschieben, sodass jedes Definitionsbereichelement dem dazugehörigen Zielmengenelement zugeordnet ist. Dann sollen wir herausfinden, ob f umkehrbar ist. Schauen wir uns das also an. Dieses lilafarbene Oval ist der Definitionsbereich von Funktion f und das hier ist die Zielmenge. Wenn du der Funktion also einen Wert des Definitionsbereichs gibst, ordnet sie diesen Wert vom Definitionsbereich zu einem Wert der Zielmenge zu. Wenn du z.B. a in die Funktion einsetzt, bekommst du -6. a führt zu -6, also schiebe ich das hierher. b führt zu 3, c führt zu -6, das ist schon mal interessant, dass wir mehrere Werte haben, die zu -6 führen. Das ist okay für f als Funktion, aber das macht es etwas schwierig, wenn wir uns anschauen, ob f umkehrbar ist. d führt zu 2. Wenn du also d in unsere Funktion einsetzt, erhältst du als Ergebnis 2. Und e führt auch zu -6. Das ist also eine Darstellung davon, wie Funktion f die Werte a bis e Werten in der Zielmenge zuordnet. Jetzt fragen wir uns: Ist diese Funktion umkehrbar? Und ich habe es schon angedeutet. Um umkehrbar zu sein, brauchst du eine Funktion, die jeden dieser Punkte rückwärts zuordnen könnte. Aber es muss eine Funktion sein. Wenn du also 3 in diese Umkehrfunktion einsetzen würdest, solltest du b erhalten. Wenn du 2 in diese Umkehrfunktion einsetzen würdest, solltest du d erhalten. Wenn du -6 in diese hypothetische Umkehrfunktion einsetzen würdest, was sollte dann passieren? Nun ja, du kannst keine Funktion haben, bei der du eine Zahl einsetzt, die drei verschiedene Werte haben könnte, a, c oder e. Du kannst nur einem Wert zuordnen. Du kannst also keine Umkehrfunktion finden, die das macht, da es keine Funktion wäre. Du kannst nicht -6 in diese Umkehrfunktion einsetzen und drei verschiedene Werte erhalten. Die Funktion ist als nicht umkehrbar. Kommen wir zu einem weiteren Beispiel. Es funktioniert genauso. Wir haben Werte des Definitionsbereichs und Werte der Zielmenge. Und wir können unser Zuordnungsdiagramm erstellen. a wird -36 zugeordnet, b zu 9, c zu -4, d zu 49, und schließlich e zu 25. Ist diese Funktion umkehrbar? Denken wir darüber nach. Was sollte diese hypothetische Umkehrfunktion tun können? Sie sollte jeden Wert der Zielmenge nehmen und ihn rückwärts zuordnen können. Wenn du also 49 in diese Umkehrfunktion einsetzt, solltest du d erhalten. Wenn du 25 einsetzt, solltest du e erhalten. Wenn du 9 einsetzt, solltest du b erhalten. Wenn du -4 einsetzt, solltest du c erhalten. Wenn du -36 einsetzt, solltest du a erhalten. Du könntest also ganz einfach eine Umkehrfunktion erstellen. Sie ist also auf jeden Fall umkehrbar. Das hier ist eine 1-zu-1-Zuordnung. Jeder Wert des Definitionsbereich wird einem einzigartigen Wert der Zielmenge zugeordnet. Es gibt keine zwei Werte des Definitionsbereichs, die demselben Wert der Zielmenge zugeordnet werden. Ich hoffe, das hilft dir weiter.