Nicht alle Funktionen haben Umkehrfunktionen. Diejenigen, die Umkehrfunktion besitzen, heißt ,,umkehrbar''. Wir werden nun lernen, wie wir feststellen können, ob eine Funktion umkehrbar oder nicht ist.
Umkehrfunktionen, im allgemeinsten Sinne, sind Funktionen, die einander,, umkehren''. Zum Beispiel, wenn ff aa auf bb abbildet, dann bildet die Umkehrfunktion f1f^{-1} bb auf aa ab.

Haben alle Funktionen eine Umkehrfunktion?

Betrachten wir die endliche Funktion hh, die durch die folgende Tabelle definiert ist.
xx11223344
h(x)h(x)22112255
Wir können ein Zuordnungdiagram für Funktion hh erstellen.
Nun kehren wir die Zuordnung um, um die Umkehrfunktion h1h^{-1} zu bestimmen.
Beachte hier, dass h1h^{-1} das Argument 22 zwei verschiedenen Funktionswerten zuordnet: 11 und 33. Das bedeutet, dass h1h^{-1} keine Funktion ist.
Da die Umkehrung von hh keine Funktion ist, sagen wir, dass hhnicht umkehrbar ist.
Im Allgemeinen ist eine Funktion nur dann umkehrbar, wenn jedes Argument einen einzigartigen Funktionswert hat. Das heißt, jedes Argument hat genau einen Funktionswert. Wenn also die Zuordnung umkehrt ist, ist das Ergebnis wieder eine Funktion!
Hier ist ein Beispiel einer umkehrbaren Funktion gg. Beachte, dass die Umkehrfunktion tatsächlich eine Funktion ist.

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Challenge Aufgabe

Umkehrbare Funktionen und ihre Graphen

Betrachten wir den Graphen der Funktion y=x2y=x^2.
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedes Argument einen eineindeutigen Funktionwert hat. In anderen Worten, jeder Funktionwert ist mit genau einem Argument verbunden.
Aber dies ist nicht der Fall für y=x2y=x^2.
Nimm zum Beispiel den Funktionswert 44. Beachte, dass wenn du die Gerade y=4y=4 zeichnet, kannst du sehen, dass es zwei Argumente 22 und 2-2 gibt, die mit dem Funktionswert 44 verbunden sind.
Tatsächlich: wenn man die horizontale Gerade nach oben oder unten verschiebt, sieht man, dass die meisten Funktionswerte mit zwei Argumenten verbunden sind! Deshalb ist die Funktion y=x2y=x^2 eine nicht umkehrbare Funktion.
Dagegen betrachten wir nun die Funktion y=x3y=x^3.
Wenn wir eine horizontale Gerade im Graph nach oben oder unten verschieben, schneidet sie die Funktion in einem einzigen Punkt!
Das bedeutet, dass jeder Funktionswert genau einem einzigen Argument entspricht. In anderen Worten jedes Argumente hat eine eineindeutigen Funktionswert. Die Funktion y=x3y=x^3 ist umkehrbar.
Der Argumentation oben beschreibt, was der horizontale Geraden-Test ist: Im Allgemeinen ist eine Funktion ff umkehrbar, wenn sie den horizontale Geraden-Test besteht.

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