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Zusammengesetzte Funktionen ermitteln

Gegeben, dass f(x)=√(x²-1) und g(x)=x/(1+x), Sal ermittelt f(g(x)) und g(f(x)). Erstellt von Sal Khan

Video-Transkript

Als uns das erste Mal zusammengesetzte Funktionen vorgestellt wurden, haben wir Funktionen oder zusammengesetzte Funktionen an einem Punkt untersucht. In diesem Video möchte ich Ausdrücke finden, die eine zusammengesetzte Funktion definieren. Ich will zum Beispiel herausfinden, was f(g(x)) ist. Pausiere das Video, und versuche, es selbst zu lösen. In diesem Fall ist g(x) das, was wir in f(x) einsetzen. Jedes Mal, wenn wir das x in dieser Definition sehen, ist das der Wert, den wir einsetzen. Wir setzen also g(x) ein. Wir ersetzen das x also mit g(x). f(g(x)) ist also gleich der Wurzel von... und anstatt einem x, setzen wir g(x) ein, der Wurzel von g(x)² - 1. Was ergibt also g(x)? g(x) ist das Ding hier drüben. Das ist also gleich der Wurzel von x geteilt durch 1 + x, wir nehmen das zum Quadrat, und subtrahieren 1. f(g(x)) ist also auch eine Funktion mit x. Wir könnten diesen Teil auch als x² geteilt durch (1 + x )² schreiben, aber ich lasse ihn so. f(g(x)) ist gleich der Wurzel von diesem ganzen Teil: (x geteilt durch (1 + x))² - 1. Machen wir es jetzt andersherum. Was ergibt g(f(x))? Pausiere wieder das Video, und versuche, selbst darüber nachzudenken. f(x) wird nun in g(x) eingesetzt. Also ersetzen wir das x, überall wo wir es sehen, mit f(x). Das ist also gleich f(x) geteilt durch 1 + f(x). Und was ergibt das? f(x) ist gleich der Wurzel von (x² - 1) geteilt durch 1 + die Wurzel von (x² - 1). Bei der Zusammensetzung von f(g(x)) erhältst du dieses Ergebnis. Und bei g(f(x)) erhältst du dieses Ergebnis. Dabei handelt es sich um sehr verschiedene Ausdrücke. Wenn du Funktionen auf die eine Art zusammensetzt, erhältst du normalerweise nicht dasselbe Ergebnis, wie wenn du sie andersherum zusammensetzt, außer die Funktionen sind auf eine besondere Weise entworfen worden.