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Einführung in zusammengesetzte Funktionen

Video-Transkript

Wir haben hier drei verschiedene Definitionen von Funktionen. Wir haben f(x) in blau, hier haben wir t verschiedene Werte für g(t) zugeordnet. Du kannst das also als Definition von g(t) benutzen. Und hier ordnen wir x Werte von h(x) zu. Zum Beispiel: Wenn x = 3 ist, dann ist h(x) = 0. Wenn x = 1 ist, dann ist h(x) = 2. Ich nummeriere kurz die y-Achse, 1, 2, 3, fertig. In diesem Video möchte ich dir das Zusammensetzen von Funktionen vorstellen. Was bedeutet es, Funktionen zusammenzusetzen? Es bedeutet, eine Funktion zu erstellen, indem ich eine Funktion mit anderen Funktionen zusammensetze. Du kannst es auch als Verschachtelung betrachten. Was meine ich damit? Denken wir darüber nach, was es bedeutet, wenn wir uns f(g(2)) anschauen. Was denkst du, kommt dabei heraus? Pausiere das Video und denke selbst darüber nach. Es sieht etwas abschreckend aus, wenn du die Schreibweise nicht gewohnt bist, aber wir müssen uns einfach daran erinnern, was eine Funktion ist. Eine Funktion ist nur eine Zuordnung von einer Zahlenreihe zu einer anderen. Wenn wir also z.B. g(2) haben, bedeutet das, dass wir die Zahl 2 nehmen, sie in die Funktion g einsetzen, und dann ein Ergebnis erhalten, das wir g(2) nennen. Dann nehmen wir das Ergebnis von g(2) und setzen es in die Funktion f ein. Wir setzen es also in die Funktion f ein, und erhalten als Ergebnis f(g(2)). Machen wir es also Schritt für Schritt. Was ergibt g(2)? Wenn t = 2 ist, dann ist g(2) = -3. Wenn ich jetzt -3 in f einsetze, was erhalte ich dann? Ich erhalte (-3)² - 1, was 9 - 1, also 8 ergibt. Das ergibt also 8. f(g(2)) = 8. Wenn wir genau so weiter vorgehen, was würde f(h(2)) ergeben? Ich ermutige dich wieder dazu, das Video zu pausieren, und selbst darüber nachzudenken. Anstatt die Aufgabe mit diesem kleinen Diagramm zu lösen, hier siehst du, dass x eingesetzt wird, also egal, was du einsetzt, du nimmst es zum Quadrat und subtrahierst 1. Hier ist der Input h(2), also nehmen wir den Input, nämlich h(2) und nehmen es zum Quadrat, und subtrahieren 1. Also ist f(h(2)) = (h(2))² - 1. Was ergibt h(2)? Wenn x = 2 ist, dann ist h(2) = 1. Also ist h(2) = 1, dadurch können wir vereinfachen und erhalten (1)² - 1, was 1 - 1, also 0 ergibt. Wir hätten es mit dem Diagramm lösen können, wir hätten 2 in h einsetzen können, und hätten 1 erhalten. Das ist also h(2). Und dann fügen wir das in f ein, wodurch wir f(1) erhalten. f(1) = (1)² - 1, was 0 ergibt. Das hier ist also f(h(2)). h(2) setzen wir in f ein, das Ergebnis ist also f von dem was wir eingesetzt haben, also f(h(2)). Jetzt können wir noch weiter gehen, und eine Zusammensetzung machen. Setzen wir also 3 dieser Funktionen zusammen. Wir nehmen also g(f(2)) und setzen es in h ein. Also haben wir h(g(f(2))). Das ist eine dreifache Zusammensetzung. Es gibt mehrere Lösungswege. Einer ist, einfach herauszufinden, was f(2) ist. f(2) = (2)² - 1, also 4 - 1, was 3 ergibt. Das ist also 3. Was ergibt g(3)? g(3) ist, wenn t = 3 ist, also ist g(3) = 4. Dieser ganze Teil ist also 4. f(2) = 3, g(3) = 4. Was ergibt h(4)? Wir schauen uns einfach unseren Graphen an. Wenn x = 4, h(4) = -1. h(g(f(2))) = -1. Hoffentlich hilft dir das dabei, die Zusammensetzung von Funktionen zu verstehen.