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Einführung in zusammengesetzte Funktionen

Jetzt lernen wir, warum wir zwei Funktionen verketten wollen würden, indem wir ein Beispiel der Landwirtschaft ansehen.

Cam ist einen Bauer. Jedes Jahr pflanzt er Samen an, die zu Mais werden. Die Funktion unten gibt die Menge C an Mais in Kilogramm (kg) an, die er erwartet zu produzieren, wenn er Mais auf a Hektar Land pflanzt.
C, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 7500, a, minus, 1500
Wenn zum Beispiel Cam auf zwei Hektar anpflanzt, erwartet er C, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 7500, left parenthesis, 2, right parenthesis, minus, 1500, equals, 13500 start text, k, g, end text des Mais zu produzieren.
Was Cam wirklich wissen möchte, ist wie viel Geld er mit dem Verkauf von Mais verdienen kann. Also nutzt er die folgende Funktion, um den Geldbetrag M in Euro abzuschätzen, den er aus dem Verkauf von c Kilogramm Mais verdient.
M, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, c, minus, 50
Wenn Cam daher 13500, start text, space, k, g, end text Mais produziert, kann er M, left parenthesis, 13500, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, left parenthesis, 13500, right parenthesis, minus, 50, equals, 12100, € verdienen.
Beachte, dass Cam zwei verschiedene Funktionen verwenden muss, um von gepflanztem Hektar zum erwarteten Verdienst zu kommen. Die erste Funktion C bildet Hektar auf Mais, während die zweite Funktion M, Mais in Geld umwandelt.
Wäre es nicht toll, wenn Cam eine Funktion schreiben kann, die den bepflanzten Hektar Land direkt in den Verdienst umrechnet?

Erstellen einer neuen Funktion

Wir können tatsächlich die Funktion bestimmen, die aus den angepflanzten anpflanztet Hektar direkt den zu erwarten den Verdienst berechnet! Um diese neue Funktion zu bestimmen, denken wir über die allgemeinste Frage noch: Wieviel Geld kann Cam erwarten zu verdienen, wenn er die Maissaat auf a Hektar Land anpflanzt?
Wenn Cam Mais auf a Hektar anpflanzt, erwartet er, C, left parenthesis, a, right parenthesis Kilogramm Mais zu produzieren. Und wenn er C, left parenthesis, a, right parenthesis Kilogramm Mais produziert, erwartet er, M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis Euro zu verdienen.
Um also eine allgemeine Regel aufzustellen, die a Hektar Land direkt in den erwarteten Verdienst umwandelt, bestimmen wir den Ausdruck M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis.
Aber wie lösen wir das? Beachte, dass in dem Ausdruck M, left parenthesis, start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54, right parenthesis die Funktion start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54 das Argument von M ist. Um also diesen Ausdruck zu bestimmen, können wir start color #1fab54, C, left parenthesis, a, right parenthesis, end color #1fab54 mit start color #e07d10, c, end color #e07d10 in der Funktion M ersetzen.
M(c)=0,9c50M(C(a))=0,9(C(a))50=0,9(7500a1500)50          Weil C(a)=7500a1500=6750a135050=6750a1400\begin{aligned} M(\goldD c)&=0{,}9\goldD c-50\\\\ M({\greenD{C(a)}})&=0{,}9(\greenD{C(a)})-50\\ \\ &= 0{,}9(\greenD{7500a-1500})-50~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Weil }}}\small{\gray{C(a)=7500a-1500} }\\\\ &= 6750a-1350-50\\\\ &=6750a-1400 \end{aligned}
Die Funktion M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, a, minus, 1400 wandelt somit gepflanzte Hektar direkt in erwarteten Verdienst um. Lass uns die neue Funktion benutzen, um den Geldbetrag, den Cam verdienen würde, vom angepflanzten Mais auf zwei Hektar Land, vorherzusagen.
M, left parenthesis, C, left parenthesis, 2, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, left parenthesis, 2, right parenthesis, minus, 1400, equals, 12100, €
Durch Anpflanzen vor Mais auf zwei Hektar Land kann Cam erwarten, 12100, € zu verdienen, was im Einklang mit unserem bisherigen Ergebnis ist!

Definieren verketteter Funktionen

Wir haben nun bestimmt was als verkette Funktion genannt wird. Statt Hektar in die Mais Funktion einzusetzen und dann die produzierte Menge Mais in die Geld Funktion umzuwandeln, haben wir eine Funktion bestimmt, die bepflanzte Hektar direkt in den erwarteten Gewinn umrechnet.
Wir haben dies durch die Substitution von C, left parenthesis, a, right parenthesis in Funktion M gefunden oder durch die Funktion M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis bestimmt. Lasst uns diese neue Funktion M, circle, C nennen, die man als ,,M verkettete mit C'' liest.
Wir wissen nun, dass left parenthesis, M, circle, C, right parenthesis, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis. Dies ist tatsächlich die formale Definition der verketteten Funktion.

Visualisieren der zwei Methoden

Hier ist eine visuelle Hilfe, um die Definition oben zu interpretieren.
Wenn wir beide Funktionen, C und M, verwenden, berechnet die Maisfunktion C aus zwei Hektar 13 500 kg. Die Geldfunktion M berechnet dann aus den 13 500 kg den Verdienst 12 100 €.
Mit der verketten Funktion M, circle, C könnten wir den 2 Hektar Land direkt den Verdienst von 12 100 € berechnen.
Die beiden sind gleichwertig!

Jetzt lösen wir einige Übungsaufgaben.

Aufgabe 1

Unter Benutzung der Funktionen aus dem Beispiel, wie viel kann Cam erwarten zu verdienen, wenn er den gesamten Mais, den er auf 1,5 Hektar Land produziert, verkauft?
Referenz: C, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 7500, a, minus, 1500, M, left parenthesis, c, right parenthesis, equals, 0, comma, 9, c, minus, 50 und M, left parenthesis, C, left parenthesis, a, right parenthesis, right parenthesis, equals, 6750, a, minus, 1400
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text
Euro

Aufgabe 2

Ben ist ein Kartoffelbauer. Die Funktion P, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, 25000, a, minus, 1000 gibt die Menge der Kartoffeln in Kilogramm an, die er bei Anpflanzung von Kartoffeln auf a Hektar Land zu produzieren erwartet. Die Funktion M, left parenthesis, p, right parenthesis, equals, 0, comma, 2, p, minus, 200 gibt die Menge Geld in US-Dollar an, die Ben erwartet zu verdienen, wenn er p Kilogramm Kartoffeln produziert.
Wie viel Geld kann Ben bekommen, wenn er alle produzierten Kartoffeln der 3 Hektar Land verkauft?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe 3

Welche der folgenden Ausdrücke gibt den Geldbetrag an, dass Ben erwartet zu verdienen, wenn er Kartoffeln auf a Hektar Land pflanzt?
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