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Funktionen zusammensetzen

Wir gehen durch die Beispiele, Erklärungen und Übungen, um zu lernen darüber, wie man verkettete Funktionen bestimmen und lösen kann.
Sind zwei Funktionen gegeben können wir sie kombinieren, indem die Ausgabe von einer Funktion zur Eingabe der anderen werden. Damit definieren wir eine verkettete Funktion. Lass uns schauen, was das bedeutet!

Auswertung von verketteten Funktionen

Beispiel

Wenn f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 und g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2, was ist dann der Wert von f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis?

Lösung

Eine Möglichkeit f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis auszuwerten ist, von ,,innen nach außen'' zu arbeiten. In anderen Worten: wir werten zuerst g, left parenthesis, 3, right parenthesis aus, dann ersetzen wir dieses Ergebnis in f um die Antwort zu bestimmen.
Ermitteln wir g, left parenthesis, 3, right parenthesis.
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   Substituiere x=3.=29\begin{aligned}g(x)&=x^3+2\\\\ g(3)&=({3})^3 +2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Substituiere }x={3.}}}\\\\ &={29}\end{aligned}
Da g, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 29 gilt f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis.
Nun ermitteln wir f, left parenthesis, 29, right parenthesis.
f(x)=3x1f(29)=3(29)1               Substituiere x=29.=86\begin{aligned}f(x)&=3x-1\\\\ f( {{29}})&=3({29}) - 1~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Substituiere }x= {29.}}}\\\\ &={86}\\\\ \end{aligned}
Daraus folgt, dass f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis, equals, 86.

Bestimmen der zusammengesetzen Funktion

Im obigen Beispiel hat die Funktion g 3 auf 29 abgebildet und dann hat die Funktion f 29 auf 86 abgebildet. Bestimmen wir die Funktion, die 3 direkt auf 86 abgebilden hat.
Dafür müssen wir die beiden Funktionen zusammensetzen und f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis ermitteln.

Beispiel

Was ist f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis?
Denke daran, dass f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 und g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2.

Lösung

Wenn wir den Ausdruck f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis sehen, können wir sehen, dass start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c die Eingabe der Funktion f ist. Deshalb ersetzten wir start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c überall, wenn ein start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 in Funktion f vorkommt.
f(x)=3x1f(g(x))=3(g(x))1\begin{aligned}f(\blueE x)&=3\blueE x-1\\\\ f(\maroonD{g(x)}) &= 3(\maroonD{g(x)})-1 \\ \end{aligned}
Da g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2 können wir x, cubed, plus, 2 für g, left parenthesis, x, right parenthesis substituieren.
f(g(x))=3(g(x))1=3(x3+2)1=3x3+61=3x3+5\begin{aligned}{f(g(x))}&=3(g(x))-1 \\\\ &=3({x^3+2})-1 \\\\ &=3x^3+6-1\\\\ &=3x^3+5 \end{aligned}
Mit dieser neuen Funktion sollten wir für das Argument 3 direkt 86 erhalten. Überprüfen wir das.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86\begin{aligned} f( g(x))&= 3x^3+5\\ \\ f( g( 3))&= 3( 3)^3+5 \\\\ &= {86} \end{aligned}
Ausgezeichnet!

Üben wir

Aufgabe 1

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2
Berechne g, left parenthesis, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe 2

m, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 2
n, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
Berechne m, left parenthesis, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.

verkettete Funktionen: eine formale Definition

Im obigen Beispiel haben wir eine verkettete Funktion bestimmt und bewertet.
Im Allgemeinen können wir eine Funktion f als Verkettung mit der Funktion g als f, circle, g beschreiben. Wir lesen "f ist verkettet mit g". Diese Komposition wird durch dir folgende Regel definiert:
left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
Das Diagramm unten zeigt die Beziehung zwischen left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis und f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis.
Nun betrachten wir ein anderes Beispiel mit dieser neuen Definition im Hiterkopf.

Beispiel

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x
Bestimme left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis und left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis.

Lösung

Wir können left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis wie folgt bestimmen:
(hg)(x)=h(g(x))Definieren.=(g(x))22(g(x))Ersetze x durch g(x) in der Funktion h.=(x+4)22(x+4)Ersetze g(x) durch x+4.=x2+8x+162x8Distribute.=x2+6x+8Kombinieren gleichartiger Terme.\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=h(g(x))&\small{\gray{\text{Definieren.}}}\\\\ &=(g(x))^2-2(g(x))&\small{\gray{\text{Ersetze } x \text{ durch } g(x)\text{ in der Funktion }h.}}\\\\ &=({x+4})^2 -2({x+4})&\small{\gray{\text{Ersetze } g(x) \text{ durch } x+4.}}\\\\ &=x^2+8x+16-2x-8&\small{\gray{\text{Distribute.}}}\\\\ &=x^2+6x+8&\small{\gray{\text{Kombinieren gleichartiger Terme.}}}\end{aligned}
Da wir jetzt die Funktion h, circle, g haben, können wir einfach minus, 2 durch x ersetzen um left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis zu bestimmen.
(hg)(x)=x2+6x+8(hg)(2)=(2)2+6(2)+8=412+8=0\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=x^2+6x+8\\\\ (h\circ g)(-2)&=(-2)^2+6(-2)+8\\\\ &=4-12+8\\\\ &=0\\\\ \end{aligned}
Natürlich könnten wir auch left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis bestimmen durch Auswertung von h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis. Dies ist unten dargestellt:
(hg)(2)=h(g(2))=h(2)        Since g(2)=2+4=2=0             Since h(2)=222(2)=0\begin{aligned}(h\circ g)(-2)&=h(g(-2))\\\\ &=h(2)~~~~~~~~\small{\gray{\text{Since }g(-2)=-2+4=2}}\\\\ &=0~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Since }h(2)=2^2-2(2)=0}}\\\\ \end{aligned}
Das Diagramm unten zeigt wie left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis mit h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis zusammenhängt.
Hier sehen wir, dass die Funktion g minus, 2 auf 2 abbildet und dann die Funktion h 2 auf 0 abbildet, während die Funktion h, circle, g minus, 2 direkt auf 0 abbildet.

Jetzt lösen wir einige Übungsanfgaben

Aufgabe 3

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 5
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, minus, 2, x
Berechne left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

In Aufgaben 4 und 5, setzen wir f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 2 und g, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, squared, plus, 5.

Aufgabe 4

Berechne left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Aufgabe 5

Berechne left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Challenge Aufgabe

Die Graphen der Gleichungen y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis und y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis werden in der Tabeller unten abgebildet.
Welches der folgenden entspricht dem Wert von left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, 8, right parenthesis am besten?
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