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Umkehrfunktionen ermitteln: Quadratisch (Beispiel 2)

Sal bestimmt die Umkehrung von f(x)=(x-1)^2-2. Erstellt von Sal Khan

Video-Transkript

Wir haben die Funktion f(x) = (x - 1)² - 2. Der Definitionsbereich ist darauf beschränkt, dass x kleiner oder gleich 1 ist. Wir haben hier die linke Hälfte einer Parabel. Die Beschränkung führt dazu, dass es keine vollständige U-Parabel ist. Denke kurz darüber nach, warum es schwierig wäre, dafür die Umkehrfunktion zu finden. Finden wir also die Umkehrfunktion. Wir beginnen, indem wir y = f(x) setzen. Oder wir schreiben einfach y = (x - 1)² - 2. Wir wissen, dass das für einen x-Wert gilt, der kleiner oder gleich 1 ist. Momentan haben wir y in Form von x aufgelöst. Wir haben nach y aufgelöst. Um die Umkehrfunktion zu finden, wollen wir nach x in Form von y auflösen. Und wir beschränken y ebenfalls. Wir können uns den Graph anschauen und sehen, dass er so definiert ist, dass y größer oder gleich -2 ist. Wir schreiben also dazu, dass y größer oder gleich -2 ist. Momentan ist das unsere Zielmenge. Aber wenn wir x und y tauschen, wird es zu unserem Definitionsbereich. Also behalten wir das in Klammern dahinter. Wir lösen nun nach x auf. Mehr musst du nicht tun, um die Umkehrfunktion zu finden. Löse nach x auf und behalte die Definitionsbereiche und Zielmengen im Auge. Wir könnten zu beiden Seiten 2 addieren. Dann haben wir y + 2 = (x - 1)². -2, +2, das kürzt sich weg. Und dann wechsel ich einfach zur Beschränkung für y. Denn jetzt ist nicht eindeutig, ob x der Definitionsbereich oder die Zielmenge ist. Aber wir wissen, dass am Ende dieser Rechnung y der Definitionsbereich ist. Also tauschen wir es hier. Für den Definitionsbereich y ist größer oder gleich -2. Und wir können in Klammern dazuschreiben, für x ist kleiner oder gleich 1. Wir haben noch keine davon gelöst, also behalten wir erst einmal beide. Um nach x aufzulösen, willst du hier vielleicht die Quadratwurzel beider Seiten ziehen. Und das ist keine schlechte Idee. Aber du musst hier sehr, sehr, sehr vorsichtig sein. Das ist vielleicht etwas, was du noch nie gesehen hast. Das ist sehr interessant. Wir wollen, dass die rechte Seite nur x - 1 ist. Das ist das Ziel, deshalb wollen wir die Quadratwurzel ziehen. Wir wollen hier nur x - 1 stehen haben. Ist x - 1 eine positive oder negative Zahl? Wir haben die Einschränkung, dass x kleiner oder gleich 1 sein muss. Also können wir nur eine Situation haben, in der x kleiner oder gleich 1 ist. Wenn x also kleiner oder gleich 1 ist, ist das hier negativ. Das ist negativ. Also wollen wir die negative Quadratwurzel ziehen. Ich möchte das deutlich machen. Wenn ich -3 nehme und hoch 2 nehme, dann ergibt das 9. Unser Ziel ist es, zurück zu -3 zu kommen. Wenn wir die positive Quadratwurzel beider Seiten ziehen, würden wir 3 = 3 bekommen. Das wollen wir aber nicht. Wir wollen zurück zu -3 kommen. Also wollen wir die negative Wurzel ziehen. Da dieser Ausdruck negativ ist, und wir zurück zu diesem Ausdruck x - 1 kommen wollen, müssen wir die negative Quadratwurzel beider Seiten nehmen. Jede perfekte Quadratzahl hat eine positive oder eine negative Wurzel. Die wesentliche Wurzel ist eine positive Wurzel. Hier nehmen wir aber die negative Wurzel, da dieser Ausdruck hier negativ sein wird. Und das wollen wir auflösen. Also ziehen wir die negative Wurzel beider Seiten. Also haben wir links -√(y + 2). Ich schreibe das hier als extra Schritt, damit du verstehst, was ich mache. -√(y + 2) = -√(x - 1)² für den Fall, dass y größer oder gleich -2 ist. Und x kleiner oder gleich 1 ist. Das ist der Grund, warum wir hier die negative Wurzel ziehen. Ich schreibe die linke Seite nochmal ab. -√(y + 2) = x - 1. -√(x - 1)² ergibt einfach x - 1. (x - 1)² ist eine positive Menge. Die negative Wurzel ist die negative Zahl, die du zum Quadrat nimmst, um sie zu erhalten. Um (x - 1)² zu erhalten. Daraus wird einfach x - 1. Ich hoffe, das verwirrt dich nicht. Wir wollen einfach das Quadrat loswerden. Wir wollen sicherstellen, dass wir die negative Version bekommen. Wir wollen nicht die positive Version, welche 1 - x gewesen wäre. Ich will dich nicht verwirren. Jetzt müssen wir einfach nach x auflösen. Für den Fall, dass y größer oder gleich -2 ist. Auf beiden Seiten 1 addieren. Wir bekommen -√(y + 2) + 1 = x für y größer oder gleich -2 ist. Wir können es auch als x = -√(y + 2) + 1 für y größer oder gleich -2 schreiben. Wenn wir es als Umkehrfunktion von y schreiben wollen, können wir auch f^-1(y) = -√(y + 2) + 1 für y größer oder gleich -2 schreiben. Wenn wir es jetzt in Form von x haben wollen, ersetzen wir einfach alle y mit x. Also schreibe ich f^-1(x). Ich gebe dem y einen neuen Namen. f^-1(x)= -√(x + 2) + 1 für x größer oder gleich -2. Bei einem Graphen würden wir bei x = -2 anfangen, dann wäre das 0, also wäre der Punkt (-2|1) auf unserem Graphen. Wenn wir -1 einsetzen, sehen wir, dass (-1|0) auf unserem Graphen liegt. Wenn wir x = 2 einsetzen, ergibt das 4. Die Wurzel aus 4 ist 2. Sie wird eine -2, also haben wir (2|-1) als Punkt auf unserem Graphen. Der Graph von f^-1(x) sieht also ungefähr so aus. Es ist eine Spiegelung unserer ursprünglichen Funktion f(x) entlang der Gerade y = x. Weil wir quasi nur x und y vertauscht haben. Das ist eine der schwierigsten Aufgaben zu Umkehrfunktionen, die dir je begegnen wird, denn es ist schwierig, zu verstehen, dass du hier die negative Wurzel ziehen musst. Denn so wie unser Definitionsbereich eingeschränkt ist, wird dieser Wert hier negativ. Um das zu lösen, musst du also die negative Wurzel ziehen.