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Umkehrfunktionen ermitteln: Linear

Video-Transkript

Wir haben f(x) = -x + 4 und f(x) ist hier in unserem Koordinatensystem dargestellt. Finden wir also die Umkehrfunktion heraus. Um das zu tun, setze ich die Variable y gleich f(x). Oder wir schreiben einfach, dass y = -x + 4 ist. Momentan haben wir nach y in Form von x aufgelöst. Um die Umkehrfunktion herauszufinden, machen wir das Gegenteil. Wir lösen nach x in Form von y auf. Also subtrahieren wir 4 von beiden Seiten. Wir erhalten y - 4 = - x. Um nach x aufzulösen, können wir beide Seiten mit -1 multiplizieren. Du erhältst - y + 4 = x. Da wir es gewohnt sind, die abhängige Variable links zu schreiben, können wir es auch als x = -y + 4 schreiben. Oder wir schreiben f^-1(y) = -y + 4. Das hier ist die Umkehrfunktion, und wir haben sie als Funktion von y dargestellt, aber wir können das y einfach in x umbenennen, damit sie eine Funktion von x ist. Also machen wir das. Wenn wir dieses y in x umbenennen, erhalten wir f^-1(x) = -x + 4. Diese beiden Funktionen sind identisch. Hier haben wir einfach nur y als unabhängige Variable bzw. Input verwendet. Hier benutzen wir einfach nur x, aber es sind identische Funktionen. Wir zeichnen jetzt einfach mal die Umkehrfunktion und schauen uns an, wie sie sich im Vergleich zu dieser hier verhält. Wenn du sie dir anschaust, siehst du, dass sie fast identisch sind. Es ist -x + 4. Es ist die exakt selbe Funktion. Der y-Achsenabschnitt ist 4, also bekommen wir genau denselben Graphen. Die Funktion ist ihre eigene Umkehrfunktion. Wenn wir sie also zeichnen, würden wir sie direkt obendrauf legen. Es gibt mehrere Arten, hierüber nachzudenken. Im ersten Video über Umkehrfunktionen habe ich erklärt, dass eine Funktion und ihre Umkehrfunktion Spiegelungen entlang der Gerade y = x sind. Wo ist hier also die Gerade y = x ? Naja, Gerade y = x sieht so aus. Und -x + 4 ist das Lot von y = x, und wenn du sie spiegelst, klappst du sie quasi um und erhältst dieselbe Gerade. Sie ist ihre eigene Spiegelung. Jetzt müssen wir schauen, ob das auch Sinn ergibt. Wenn wir eine 2 hier in die Standardfunktion einsetzen, wird sie einer 2 zugeordnet. Wenn du eine 4 einsetzt, wird sie einer 0 zugeordnet. Was passiert, wenn wir es andersherum machen? Wenn du eine 2 einsetzt, wird sie in jede Richtung einer 2 zugeordnet, das ergibt also Sinn. Bei der Standardfunktion wird 4 zur 0 zugeordnet. Bei der Umkehrfunktion wird 0 zur 4 zugeordnet. Also ergibt das Sinn. Schauen wir es uns anders an. Ich schreibe es nochmal genau auf. Vielleicht hilft es dir weiter, falls es für dich nicht offensichtlich ist. Nehmen wir f(5). f(5) = -1. Die Funktion f führt uns also von 5 zur -1. Was macht die Umkehrfunktion? Was ergibt f^-1(-1)? f^-1(-1) = 5. Oder wir können sagen, dass f uns von -1 zur 5 führt. Diese Zahlensets, die wir haben, sind der Definitionsbereich und die Zielmenge. Sagen wir also, dass das der Definitonsbereich und das die Zielmenge von f ist. f führt uns von 5 zu -1. Das ist es, was die Funktion f macht. Und f^-1 bringt uns zurück von -1 zur 5, genauso, wie sie es soll. Machen wir noch ein Beispiel. Hier habe ich g(x) = -2x - 1. Wie beim vorherigen Beispiel, setze ich sie gleich y. Wir schreiben also y = g(x) = -2x - 1. Und jetzt lösen wir einfach nach x auf. y + 1 = -2x. Ich habe einfach 1 zu beiden Seiten addiert. Jetzt können wir beide Seiten dieser Gleichung durch -2 dividieren, und erhalten -y/2 - 1/2 = x. Wir können es auch als x = -y/2 - 1/2 schreiben. Oder als g^-1(y) = -y/2 - 1/2. Oder wir nennen y einfach in x um. Das ist also g^-1(y) = -y/2 - 1/2. Wir können das y einfach umbenennen und g^-1(x) = -x/2 - 1/2 schreiben. Jetzt zeichnen wir sie. Ihr y-Achsenabschnitt ist -1/2. Der ist hier drüben. Und sie hat eine Steigung von -1/2. Wenn wir bei -1/2 beginnen, und uns zur 1 in die positive Richtung bewegen, gehen wir um 1/2 nach unten. Wenn wir uns wieder um 1 bewegen, gehen wir wieder um 1/2 nach unten. Und so weiter. Die Gerade sieht also ungefähr so aus. Ich zeichne sie einfach mal weiter in beide Richtungen. Sie sieht ungefähr so aus. Jetzt müssen wir überprüfen, ob es sich wirklich um eine Spiegelung entlang y = x handelt. y = x sieht so aus, und du siehst, dass sie Spiegelungen voneinander sind. Wenn du die blaue Gerade spiegelst, wird sie zur orangen Gerade. Aber allgemein wird eine Funktion nach y in Form von x dargestellt, du wendest etwas Algebra an, löst sie nach x in Form von y auf und das ist unsere Umkehrfunktion als Funktion von y, aber dann kannst du sie in eine Funktion von x umbenennen.