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Umkehrfunktionen ermitteln: Rational

Sal bestimmt die Umkehrung von g(x)=(2x-1)/(x + 3).

Video-Transkript

Hier steht, dass g(x) = 2x -1 / x+3 ist. Pausiere das Video und versuche herauszufinden, was die Umkehrfunktion von g ist. g^-1(x). Was ergibt das? Ich nehme mal an, dass du es ausprobiert hast. Hier kommt eine Erinnerung daran, worüber wir bei Umkehrfunktionen gesprochen haben. Das ist der Definitionsbereich, der aus allen Zahlen besteht, die wir in g einsetzen können. Das ist der Definitionsbereich. Und die Zielmenge besteht aus allen möglichen Ergebnissen, die wir erhalten können. Jedem Wert x im Definitionsbereich, der eingesetzt wird, ordnet die Funktion g einen Punkt zu. Sie ordnet jedem Wert einen Wert in der Zielmenge zu. Wenn das also x ist, wäre dieser Wert hier drüben g(x). Das ist es, was die Funktion g macht. Die Umkehrfunktion macht es andersherum. Du beginnst bei einem Wert der Zielmenge, und gehst zurück zu einem Wert des Definitionsbereichs. Das macht g^-1. Es gibt mehrere Ansätze. Wenn wir z.B. y mit g(x) gleichsetzen würden, könnten wir diesen Punkt ebenfalls y nennen. Dieser Ausdruck hier sagt, was mit dem x passiert. Wir multiplizieren es mit 2 und subtrahieren 1, und dividieren durch x + 3. Das sagt uns dann, was das dazugehörige g(x) bzw. y ist. Aber was, wenn wir y oder g(x) gegeben haben? Wie kommen wir auf x? Wir können einfach nach x auflösen. Also machen wir das. Wir haben gesagt, dass y = 2x - 1 / x + 3 ist. Lass uns nach x auflösen, um für jeden y-Wert den dazugehörigen x-Wert herauszufinden. Wie machen wir das? Wir multiplizieren beide Seiten mit x + 3. Dadurch erhalten wir y mal (x + 3) = 2x - 1. Ich habe einfach nur beide Seiten mit (x + 3) multipliziert. Hier und auf der anderen Seite auch. (x + 3) und (x + 3) kürzen sich weg. Was machen wir dann? Wir könnten das y ausmultiplizieren. Ich wechsle zu einer anderen Farbe, sonst wird es zu kompliziert. Wir haben also y mal x + 3y = 2x - 1. Denk dran: Wir wollen nach x auflösen. Wir können also alle Werte mit x auf einer Seite der Gleichung sammeln, und alle Werte ohne x auf der anderen Seite. Also sammeln wir alle Werte mit x links, und alle Werte ohne x rechts. Ich möchte das hier loswerden, da es kein x beinhaltet. Also subtrahiere ich 3y. Also subtrahiere ich auch 3y von der anderen Seite. -3y. Wir wollen das hier auf der rechten Seite loswerden, also -2x. Wir schreiben es hier drüben hin: -2x. Und was bekommen wir als Ergebnis? Hier haben wir yx - 2x, was (y - 2) mal x ergibt. Diese beiden kürzen wir weg. Hier rechnen wir 2x - 2x, was sich wegkürzt. Das war das Ziel. Und dann haben wir 1 - 3y. Um nach x aufzulösen, dividierst du einfach beide Seiten durch y - 2. Und wir erhalten x = 1 - 3y / y - 2. Jetzt könnten wir sagen, dass dieser Ausdruck gleich der Umkehrfunktion als Funktion von y ist. Du gibst mir einen y-Wert innerhalb dieser Zielmenge, den ich in diese Funktionsdefinition hier einsetzen kann, und ich gebe dir den dazugehörigen x-Wert. Wir suchen aber nicht g^-1(y). Wir suchen g^1(x). Es ist wichtig, daran zu denken, dass diese Variablen, die wir in Funktionen verwenden, eher zufällig gewählt sind. Man sagt einfach, dass der Wert der eingesetzt wird, y heißt, und wenn der Input also y heißt, dann bekommst du so das Ergebnis. Aber wir könnten den Input auch a nennen, dann wäre das hier 1 - 3a / a - 2. Wir haben g^-1(y). Ich schreibe nochmal auf, was wir bereits haben. g^-1(y) = 1 - 3y / y - 2. Die Variable ist zufällig gewählt. Wir könnten auch sagen g^-1(😊) = 1 - 3(😊) / 😊 -2. Wenn wir den Input x nennen wollen, könnten wir auch einfach g^-1(x) = 1 - 3x / x - 2 schreiben. Dann wären wir fertig. Du denkst vielleicht, dass das verwirrend ist, da wir jetzt den Input hiervon x nennen, obwohl wir normalerweise y mit den Variablen verbinden. Das stimmt, aber denk daran, dass diese Variablen einfach nur Namen sind, die wir den Dingen geben, damit wir sie nicht verwechseln. Aber das ist einfach nur der Input. Wir können also den Input der Umkehrfunktion x, 😊 oder y nennen, a, b, c, d, was auch immer wir wollen. Wir sollen es also in Form von g^-1(x) angeben, also definieren wir den Input, das was wir einsetzen, als x. Das ist also der Ausdruck, der die Funktion umkehrt. Es gibt noch einen anderen Lösungsweg, wenn du dir anschaust, was hier gerade passiert ist. Wenn wir sagen würden, dass y = g^-1 wäre, hätten wir quasi die Variablen x und y vertauscht. Um das zu lösen, kannst du hier drüben anfangen, und x und y vertauschen, was quasi das ist, was wir im letzten Schritt gemacht haben. Und dann, nach dem Tausch, löst du nach y auf und würdest dasselbe Ergebnis bekommen. Dann könntest du sagen, dass y = g^-1 ist. Du kannst beide Wege verwenden.