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Umkehrfunktionen ermitteln: Wurzel

Sal bestimmt die Umkehrung von h(x)=-∛(3x-6)+12.

Video-Transkript

Hier steht, dass h(x) = - ³√(3x - 6) + 12 ist. Wir wollen jetzt herausfinden, was die Umkehrfunktion von h ist. Was ist also h^-1(x) = ? Pausiere das Video und versuche, es herauszufinden. In vorherigen Videos haben wir betont, dass eine Funktion von einem Definitionsbereich zu einer Zielmenge zuordnet, und du kannst dir die Umkehrfunktion so vorstellen, dass sie von dem Punkt in der Zielmenge zurück dahin führt, wo wir angefangen haben. Wir wollen also einen Ausdruck finden, der das hier rückgängig macht. Wir sagen also, dass y = h(x) ist, bzw. dass y = -³√(3x - 6) + 12 ist. Dadurch bekommen wir unser y. Und du kannst y als Teil der Zielmenge betrachten. Ein Teil der Zielmenge in Bezug auf den Input, also in Bezug auf ein Teil des Definitionsbereichs. Wir wollen aber den Weg zurückgehen, also können wir versuchen, nach x aufzulösen. Wenn wir nach x auflösen, bekommen wir einen Ausdruck als Funktion von y. Und setzen diese mit x gleich. Das wäre also die umgekehrte Zuordnung. Oder wir könnten einfach x und y tauschen und nach y auflösen. Aber bei dieser Methode ist es nicht intuitiv, dass das eigentlich die Umkehrfunktion ist. Also lösen wir einfach nach x auf. Als erstes wollen wir die dritte Wurzel auf der rechten Seite isolieren. Also subtrahieren wir 12 von beiden Seiten. Dann erhalten wir y - 12 = -³√(3x - 6). Wir haben 12 von beiden Seiten subtrahiert, also ist die 12 rechts nicht mehr vorhanden. Wir könnten beide Seiten mit -1 multiplizieren, um das negative Vorzeichen loszuwerden. Also multipliziere ich beide Seiten mit -1. Links haben wir dann 12 - y. Rechts haben wir ³√(3x - 6). Jetzt müssen wir etwas Algebra anwenden und beide Seiten hoch 3 nehmen. Also machen wir das. Wir nehmen beide Seiten hoch 3. Eigentlich ist das nicht so schwierig, da ich gar nicht herausfinden muss, was das ergibt. Ich muss die Wurzel nicht auflösen, ich kann es einfach als (12 - y)³ stehen lassen. Wenn wir also beide Seiten hoch 3 nehmen, haben wir links (12 - y)³. Rechts fällt die dritte Wurzel weg, und es bleibt übrig, was unter der Wurzel stand. Wir wollen nach x auflösen, also addieren wir 6 zu beiden Seiten. Wir bekommen (12 - y)³ + 6 = 3x. Wir können beide Seiten durch 3 dividieren und sind fertig. Dann bekommen wir x = ((12 - y)³ + 6) / 3. Wenn du einen Teil der Zielmenge y hast, ordnet dieser Ausdruck ihn zurück zu dem x-Wert, der dich zu dieser Zielmenge gebracht hat. Das ist also die Umkehrfunktion h^-1(y). h^-1(y) = ((12 - y)³ + 6) / 3. Wie bereits in vorherigen Videos besprochen, ist die Entscheidung, den Input y zu nennen, zufällig. Wir könnten ihn auch ☆ nennen. Wir könnten auch sagen, h^-1(☆) = ((12 - ☆)³ + 6) / 3. Wenn wir den Input einfach x nennen wollen, könnten wir auch einfach h^-1(x) schreiben. Wie gesagt, dass ist einfach nur der Name des Inputs. h^-1(x) = ((12 - x)³ + 6) / 3. Es ist vielleicht etwas verwirrend, da theoretisch x als Teil der Zielmenge angesehen werden könnte, und wir zurück zum Definitionsbereich gehen. Aber generell können wir den Input einer Funktion benennen, wie wir möchten. Hier haben wir also unsere Umkehrfunktion, die unsere ursprüngliche Funktion rückgängig macht.