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Algebra 2

Kurs: Algebra 2 > Lerneinheit 1

Lektion 7: Suche nach Umkehrfunktionen
Mathematik
Algebra 2
Funktionen
Suche nach Umkehrfunktionen
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Suche nach Umkehrfunktionen

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Lerne wie du die Formel der Umkehrfunktion zu einer gegebenen Fuktion bestimmen kannst. Als Beispiel bestimme die Umkehrfunktion von f(x)=3x+2.
Umkehrfunktionen, im allgemeinsten Sinne, sind Funktionen, die einander ,,umkehren''. Zum Beispiel, wenn f a auf b abbildet, dann bildet die Umkehrfunktion f, start superscript, minus, 1, end superscript b auf a ab.
Oder mit anderen Worten, f, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, b, \Longleftrightarrow, f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, b, right parenthesis, equals, a.
In diesem Artikle werden wir lernen, wie man die Formel der Umkehrfunktion bestimmen kann, wenn wir die Formel der ursprünglichen Funktion haben.

Bevor anfangen wir...

In diese Lektion werden wir die Umkehrfunktion von f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 2 bestimmen.
Bevor wir das tun, denken wir zuerst darüber nach, wie wir f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis bestimmen würden.
Um f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis zu bestimmen, müssen wir das Argument von f bestimmen, das einem Ergebnis von 8 entspricht. Wenn also f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals, x, dann ist per Definition der Umkehrfunktion, dem Ergebnis f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 8.
f(x)=3x+28=3x+2Sei f(x)=86=3xSubtrahiere 2 von beide Seiten2=xDividiere beide Seiten durch 3\begin{aligned} f(x) &= 3 x+2\\\\ 8 &= 3 x+2 &&\small{\gray{\text{Sei f(x)=8}}} \\\\6&=3x &&\small{\gray{\text{Subtrahiere 2 von beide Seiten}}}\\\\ 2&=x &&\small{\gray{\text{Dividiere beide Seiten durch 3}}} \end{aligned}
Also gilt f, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 8. Das bedeutet, dass f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 8, right parenthesis, equals, 2

Suche nach Umkehrfunktionen

Was wir zuvor getan haben, um f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis zu bestimmen, können wir für alle y vor allgemeineren.
Um f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis zu bestimmen, bestimmen wir das Argument von f, das y entspricht. Das gilt, da per Definition der Umkehrfunktion, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, y.
f(x)=3x+2y=3x+2Sei f(x)=yy−2=3xSubtrahiere 2 von beide Seiteny−23=xDividiere beide Seiten durch 3\begin{aligned} f(x) &= 3 x+2\\\\ y &= 3 x+2 &&\small{\gray{\text{Sei f(x)=y}}} \\\\y-2&=3x &&\small{\gray{\text{Subtrahiere 2 von beide Seiten}}}\\\\ \dfrac{y-2}{3}&=x &&\small{\gray{\text{Dividiere beide Seiten durch 3}}} \end{aligned}
Also gilt f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, y, right parenthesis, equals, start fraction, y, minus, 2, divided by, 3, end fraction.
Da die Wahl der Variablen willkürlich ist, können wir dies als f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 2, divided by, 3, end fraction schreiben.

Überprüfe dein Verständnis

1) lineare Funktion

Bestimme die Umkehrfunktion von g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 5.
g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

2) kubische Funktion

Bestimme die Umkehrfunktion von h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2.
h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

3) Kubikwurzel Funktion

Bestimme die Umkehrfunktion von f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, dot, cube root of, x, end cube root.
f, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

4) rationale Funktionen

Bestimme die Umkehrfunktion von g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction.
g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

5) Challenge Aufgabe

Finde für jede Funktion das Inverse.
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