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Video-Transkript

f(x) = 2x² + 15x - 8. g(x) = x² + 10x + 16. Bestimme (f/g)(x). Du kannst es auch als f/g(x) sehen. Und jetzt weißt du ungefähr, was das bedeutet. f/g oder f/g(x) ist nur eine andere Art, f(x)/g(x) zu schreiben. Du kannst es als eine Funktion von x betrachten, die definiert wird, indem man f(x) durch g(x) teilt, was einen rationalen Ausdruck kreiert, bei dem f(x) im Zähler und g(x) im Nenner ist. Dann tragen wir die Funktionen ein. f(x) haben wir hier: 2x² + 15x - 8. Und g(x) ist hier. Das alles wird durch g(x) dividiert, was x² + 10x + 16 ist. Und du kannst es so lassen, oder versuchen, es etwas zu vereinfachen. Wir schauen uns also an, ob wir die Ausdrücke im Zähler und im Nenner in einfachere Ausdrücke umwandeln können. Und vielleicht ist bei manchen von ihnen der Zähler und der Nenner durch denselben Ausdruck teilbar. Versuchen wir also, auszuklammern. Versuchen wir es erst mit dem Zähler. Legen wir los. Ich mache es hier unten. Ich schaue mir 2x² + 15x - 8 an. Wir haben einen quadratischen Ausdruck bei dem der Koeffizient nicht 1 ist. Wir können das jetzt durch Gruppierung faktorisieren. Du könntest auch die quadratische Formel verwenden. Wenn du durch Gruppierung faktorisiert, teilst du den Term 15x auf. Du teilst ihn in zwei Terme auf, bei denen die Koeffizienten, wenn ich das Produkt dieser Koeffizienten nehmen würde, wären sie gleich dem Produkt der ersten und letzten Terme. Und das beweisen wir in anderen Videos. Wir suchen also zwei Zahlen, die zusammen 15 ergeben, aber deren Produkt -16 ist. Und das ist einfach nur Faktorisierung durch Gruppierung. Es ist einfach ein Versuch, das hier zu vereinfachen. Also welche zwei Zahlen ergeben -16, wenn ich ihr Produkt nehme, aber 15, wenn ich sie addiere? Nun ja, wenn ich das Produkt nehme und eine negative Zahl erhalte, das bedeutet, dass sie verschiedene Vorzeichen haben müssen. Das bedeutet, dass eine davon positiv, und eine davon negativ sein muss, was bedeutet, dass eine davon größer als 15, und eine davon kleiner als 15 sein muss. Und die offensichtlichsten könnten 16 und -1 sein. Wenn ich diese beiden Zahlen multipliziere, bekomme ich definitiv -16. Wenn ich sie addiere, bekomme ich definitiv 15. Wir können das also teilen. Wir können diesen Ausdruck als 2x² + 16x - x - 8 schreiben. Ich habe nur diesen mittleren Term genommen, und mit dieser Technik hier drüben, in 16x - x geteilt. was eindeutig immer noch 15x ist. Das nützliche daran, und warum es Faktorisierung durch Gruppierung genannt wird, ist, dass wir sehen können, ob es in den ersten beiden Termen gemeinsame Nenner gibt. Sowohl 2x² als auch 16x sind beide durch 2x teilbar. Du kannst also 2x aus diesen beiden Termen ausklammern. Das ist dasselbe wie 2x mal (x + 8). 16/2 ist 8, x/x ist 1. Das ergibt also 2x mal (x + 8). Bei diesen zwei Termen hier drüben können wir eine -1 ausklammern. Das ergibt also -1 mal (x + 8). Jetzt haben wir praktischerweise 2 Terme. Beide beinhalten ein (x + 8). Also können wir (x + 8) ausklammern. Wenn wir also ein (x + 8) ausklammern, bleiben (2x - 1) übrig, wir setzen Klammern drumherum, mal (x + 8), was wir ausgeklammert haben. Jetzt haben wir den Zähler vereinfacht. Er kann umgeschrieben werden. Wir hätten das auch mit der quadratischen Formel machen können. Der Zähler ist (2x - 1) mal (x + 8). Jetzt schauen wir, ob wir den Nenner ausklammern können. Das ist einfacher. Der Koeffizient ist 1. Wir müssen also 2 Zahlen finden, die miteinander multipliziert 16 ergeben. Und miteinander addiert 10. Die eindeutigsten sind 8 und 2. Also können wir das als (x + 2) mal (x + 8) schreiben. Und jetzt können wir es vereinfachen. Wir können den Zähler und Nenner durch (x + 8) dividieren, angenommen, dass x nicht gleich -8 ist. Denn diese Funktion hier, die durch f/g definiert ist, ist nicht definiert, wenn g(x) = 0 ist, denn dann würdest du etwas durch 0 dividieren. Und g(x) ergibt nur 0, wenn x = -2 oder -8 ist. Wenn wir also den Zähler und Nenner durch (x + 8) dividieren, um es zu vereinfachen, müssen wir, um die Funktionsdefinition nicht zu verändern, immer die Einschränkung dazuschreiben, dass x nicht gleich -8 sein kann. Um die ursprüngliche Funktion nicht zu ändern. Denn wenn ich diese beiden Dinge einfach streichen würde, wäre die neue Funktion definiert, wenn x = -8 wäre. Wir wollen, dass diese vereinfachte Version genau dieselbe Funktion ist. Und diese exakte Funktion ist nicht definiert, wenn x = -8 ist. Jetzt können wir also f/g(x) schreiben, was quasi f(x)/g(x) ist, und 2x - 1 / x + 2 ist. Du musst die Bedingung dazuschreiben, dass x nicht gleich -8 sein darf. Ohne diese Bedingung sind die beiden Funktionen nicht gleich, denn sie ist nicht definiert, wenn x = -8 ist.