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Funktionen multiplizieren und dividieren

Wir zeigen nun wie wir durch Multiplizieren oder Dividieren zweier Funktionen eine neue Funktion erstellen können.
Ebenso wir Zahlen multiplizieren und dividieren, können wir auch Funktionen multiplizieren und dividieren. Zum Beispiel können wir aus den Funktionen f und g zwei neue Funktionen bilden: f, dot, g und start fraction, f, divided by, g, end fraction.

Multiplikation zweier Funktionen

Beispiel

Schauen wir uns ein Beispiel an, um zu sehen, wie das funktioniert.
Für f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, minus, 3 und g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1, bestimme left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis.

Lösung

Der schwierigste Teil bei der Kombination von Funktionen ist die Notation zu verstehen. Was bedeutet left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis?
left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis entspricht dem Produkt von f, left parenthesis, x, right parenthesis und g, left parenthesis, x, right parenthesis. Mathematisch bedeutet dies, dass left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis.
Nun wird dies ein altbekanntes Problem.
(fg)(x)=f(x)g(x)Definiere.=(2x3)(x+1)Setze ein.=2x2+2x3x3Multipliziere aus.=2x2x3Fasse gleichartige Terme zusammen.\begin{aligned} (f\cdot g)(x) &= f(x)\cdot g(x)&\gray{\text{Definiere.}} \\\\ &= \left(2x-3\right)\cdot\left(x+1\right) &\gray{\text{Setze ein.}} \\\\ &= 2x^2+2x-3x-3&\gray{\text{Multipliziere aus.}} \\\\ &=2x^2-x-3&\gray{\text{Fasse gleichartige Terme zusammen.}} \end{aligned}
Hinweis: wir haben das Ergebnis vereinfacht um ein schöneren Ausdruck zu erhalten, aber das ist nicht nötig.

Lass uns einige Übungsaufgaben lösen.

Aufgabe 1
c(y)=3y4d(y)=32y\begin{aligned} &c(y)=3y-4 \\\\ &d(y)=3-2y \end{aligned}
Berechne left parenthesis, c, dot, d, right parenthesis, left parenthesis, y, right parenthesis.

Aufgabe 2
m(x)=x23xn(x)=x5\begin{aligned} &m(x)=x^2-3x \\\\ &n(x)=x-5 \end{aligned}
Berechne left parenthesis, m, dot, n, right parenthesis, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Zwei Funktionen dividieren

Das Teilen zweier Funktionen funktioniert auf ähnliche Weise. Hier ist ein Beispiel.

Beispiel

h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 2, n, minus, 1 und j, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, n, plus, 3.
Bestimme left parenthesis, start fraction, j, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis.

Lösung

Per Definition gilt: left parenthesis, start fraction, j, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start fraction, j, left parenthesis, n, right parenthesis, divided by, h, left parenthesis, n, right parenthesis, end fraction.
Jetzt können wir die Aufgabe lösen.
(jh)(n)=j(n)h(n)Definiere.=n+32n1Setze ein. \begin{aligned} \left(\dfrac{j}{h}\right)(n)&=\dfrac{j(n)}{h(n)}&\gray{\text{Definiere.}} \\\\ &= \dfrac{n+3}{2n-1}&\gray{\text{Setze ein. }} \end{aligned}
Zwei wichtige Hinweise zu dieser Funktion:
  1. Diese Funktion ist vereinfacht in die aktuelle Form.
  2. Die Funktion ist nicht definiert für n, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction. Und zwar, weil 2, n, minus, 1, equals, 0 bei n, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction und die Division durch 0 nicht definiert ist.

Lass uns einige Übungsaufgaben lösen

Aufgabe 3
g(t)=t24h(t)=t+8\begin{aligned} &g(t)=t^2-4 \\\\ &h(t)=t+8 \end{aligned}
Berechne left parenthesis, start fraction, g, divided by, h, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis.

Aufgabe 4
p(r)=5r2q(r)=r+2\begin{aligned} &p(r)=5r-2 \\\\ &q(r)=r+2 \end{aligned}
Bewerte left parenthesis, start fraction, p, divided by, q, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 4, right parenthesis.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Aufgabe 5
f(x)=x+4g(x)=x3\begin{aligned} &f(x)=x+4 \\\\ &g(x)=x-3 \end{aligned}
Für welchen Wert von x ist left parenthesis, start fraction, f, divided by, g, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis undefiniert?
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Eine Anwendung

Die Distanz und die Zeit, die Jordan jeden Tag läuft, hängt von der die Anzahl der Stunden h ab, die sie arbeitet. Die Distanz D in Meilen und die Zeit T in Minuten, die sie läuft, sind mit der Funktion D, left parenthesis, h, right parenthesis, equals, minus, 0, comma, 5, h, plus, 8, comma, 5 bzw. T, left parenthesis, h, right parenthesis, equals, minus, 6, h, plus, 90 gegeben.
Sei Funktion S die Durchschnittsgeschwindigkeit, mit der Jordan an einem Tag herumläuft, wenn sie h Stunden arteitet
Aufgabe 6
Welche der folgenden Ausdrücke definiert richtig die Funktion S?
Wähle eine Lösung.
Wähle eine Lösung.

Challengeaufgabe
Die Graphen von y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis und y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis sind auf dem Raster unten dargestellt.
Welche Graph stellt y, equals, left parenthesis, f, dot, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis dar?
Wähle eine Lösung.
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