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Einführung in das Zusammenfassen von Funktionen

Wir werden uns mit der Idee vertraut machen, dass wir zwei Funktionen addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren können, um eine neue Funktion zu schaffen.
Genau wie wir Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und teilen, können wir Funktionen addieren, subtrahieren, multiplizieren und teilen.

Die Summe zweier Funktionen

1. Teil: Eine neue Funktion aus zwei addierten Funktionen erstellen

Lass uns f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 1 und g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x zusammen addieren, um eine neue Funktion zu kreieren.
Nennen wir die neue Funktion h. Nun haben wir:
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 1

2. Teil: Evaluation der kombinierten Funktion

Wir könne auch kombinierte Funktionen für bestimmte Eingaben berechnen. Lass uns die obige Funktion h für x, equals, 2 berechnen. Nachstehend siehst Du zwei Arten, wie man dies berechnen kann.
1. Methode: Setze x, equals, 2 in die kombinierte Funktion h ein.
h(x)=3x+1h(2)=3(2)+1=7\begin{aligned}h(x)&=3x+1\\\\ h(2)&=3(2)+1\\\\ &=\greenD{7} \end{aligned}
2. Methode: Finde f, left parenthesis, 2, right parenthesis und g, left parenthesis, 2, right parenthesis und addiere die Resultate.
Da h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis ist, können wir nun auch h, left parenthesis, 2, right parenthesis ermitteln, indem wir f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis ermitteln.
Als Erstes ermitteln wir f, left parenthesis, 2, right parenthesis:
f(x)=x+1f(2)=2+1=3\begin{aligned}f(x)&= {x + 1}\\\\ f(2)&=2+1 \\\\ &=3\end{aligned}
Nun ermitteln wir g, left parenthesis, 2, right parenthesis:
g(x)=2xg(2)=22=4\begin{aligned}g(x)&={2x}\\\\ g(2)&=2\cdot 2 \\\\ &=4\end{aligned}
Also f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis, equals, 3, plus, 4, equals, start color #1fab54, 7, end color #1fab54.
Beachte, dass die direkte Ersetzung der x, equals, 2 in die Funktion h und die Ermittlung von f, left parenthesis, 2, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 2, right parenthesis uns das gleiche Resultat zurückgeben.

Lass uns nun einige Übungsaufgaben in Angriff nehmen.

In den Aufgaben 1 und 2, ist f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, plus, 2 und g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, minus, 3.

Aufgabe 1

Berechne f, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, x, right parenthesis.

Aufgabe 2

Berechne f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text

Eine grafische Verbindung

Wir können auch verstehen, was es bedeutet zwei Funktionen zu addieren indem wir die Graphen der Funktion ansehen.
Die Graphen von y, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis und y, equals, n, left parenthesis, x, right parenthesis werden unten gezeigt. Im ersten Graph, siehst du, dass m, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 2. Im zweiten Graph, siehst du, dass n, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, 5.
Sei p, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, n, left parenthesis, x, right parenthesis. Nun betrachten wir den Graphen von y, equals, p, left parenthesis, x, right parenthesis. Beachte dass p, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, plus, start color #ca337c, 5, end color #ca337c, equals, start color #7854ab, 7, end color #7854ab.
Fordare dich selbst heaus, um zu sehen, dass p, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, m, left parenthesis, x, right parenthesis, plus, n, left parenthesis, x, right parenthesis für jeden Wert von x, indem du die drei Graphen betrachtest.

Üben wir.

Aufgabe 3

Die Graphen von y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis und y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis werden unten gezeigt.
Welche ist die beste Annäherung von f, left parenthesis, 3, right parenthesis, plus, g, left parenthesis, 3, right parenthesis?
Wähle eine Lösung.
Wähle eine Lösung.

Andere Möglichkeiten Funktionen zu kombinieren

Alle Beispiele, die wir bis jetzt gesehen habe, schaffen eine neue Funktion durch die Summe zweiter Funktionen. Aber du kannst zwei Funktionen auch subtrahieren, multiplizieren und dividieren um neue Funktionen zu erzeugen!
Wenn zum Beispiel f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 3 und g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, minus, 2, dann können wir nicht nur die Summe bestimmen , sondern auch...
... die Differenz.
f(x)g(x)=(x+3)(x2)       Substituieren.=x+3x+2             Negatives Vorzeichen verteilen.=5                                  Kombinieren gleichartiger Terme.\begin{aligned}f(x)-g(x)&=(x+3)-(x-2)~~~~~~~\small{\gray{\text{Substituieren.}}}\\\\ &=x+3-x+2~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Negatives Vorzeichen verteilen.}}}\\\\ &=5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Kombinieren gleichartiger Terme.}}}\end{aligned}
... das Produkt.
f(x)g(x)=(x+3)(x2)            Substituieren.=x22x+3x6        Distribute.=x2+x6                   Kombinieren gleichartiger Terme.\begin{aligned}f(x)\cdot g(x)&=(x+3)(x-2)~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Substituieren.}}}\\\\ &=x^2-2x+3x-6~~~~~~~~\small{\gray{\text{Distribute.}}}\\\\ &=x^2+x-6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Kombinieren gleichartiger Terme.}}}\end{aligned}
... und der Quotient.
f(x):g(x)=f(x)g(x)=(x+3)(x2)                     Substituieren.\begin{aligned}f(x)\mathbin{:} g(x)&=\dfrac{f(x)}{g(x)} \\\\ &=\dfrac{(x+3)}{(x-2)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Substituieren.}}} \end{aligned}
Indem wir das so machen, haben wir drei neue Funktionen geschaffen!

Challenge Aufgabe

p, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, plus, 2
q, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 1
r, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t
Berechne p, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, q, left parenthesis, 3, right parenthesis, dot, r, left parenthesis, 3, right parenthesis, minus, p, left parenthesis, 3, right parenthesis.
  • Deine Lösung sollte sein
  • eine ganze Zahl wie 6
  • ein gekürzter echter Bruch wie 3, slash, 5
  • ein gekürzter unechter Bruch wie 7, slash, 4
  • eine gemischte Zahl wie 1, space, 3, slash, 4
  • eine genaue Dezimalzahl wie 0, comma, 75
  • ein Vielfaches von Pi wie 12, space, start text, P, i, end text oder 2, slash, 3, space, start text, P, i, end text