Funktionen kombinieren

Einführung in das Zusammenfassen von Funktionen

Wir werden uns mit der Idee vertraut machen, dass wir zwei Funktionen addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren können, um eine neue Funktion zu schaffen.
Genau wie wir Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und teilen, können wir Funktionen addieren, subtrahieren, multiplizieren und teilen.

Die Summe zweier Funktionen

1. Teil: Eine neue Funktion aus zwei addierten Funktionen erstellen

Lass uns f(x)=x+1{f(x)=x+1} und g(x)=2x{g(x)=2x} zusammen addieren, um eine neue Funktion zu kreieren.
Nennen wir die neue Funktion hh. Nun haben wir:
h(x)=f(x)+g(x)=3x+1{h(x)}={f(x)}+{g(x)}{=3x+1}

2. Teil: Evaluation der kombinierten Funktion

Wir könne auch kombinierte Funktionen für bestimmte Eingaben berechnen. Lass uns die obige Funktion hh für x=2x=2 berechnen. Nachstehend siehst Du zwei Arten, wie man dies berechnen kann.
1. Methode: Setze x=2x=2 in die kombinierte Funktion hh ein.
h(x)=3x+1h(2)=3(2)+1=7\begin{aligned}h(x)&=3x+1\\\\ h(2)&=3(2)+1\\\\ &=\greenD{7} \end{aligned}
2. Methode: Finde f(2)f(2) und g(2)g(2) und addiere die Resultate.
Da h(x)=f(x)+g(x)h(x)=f(x)+g(x) ist, können wir nun auch h(2)h(2) ermitteln, indem wir f(2)+g(2)f(2) + g(2) ermitteln.
Als Erstes ermitteln wir f(2)f(2):
f(x)=x+1f(2)=2+1=3\begin{aligned}f(x)&= {x + 1}\\\\ f(2)&=2+1 \\\\ &=3\end{aligned}
Nun ermitteln wir g(2)g(2):
g(x)=2xg(2)=2⋅2=4\begin{aligned}g(x)&={2x}\\\\ g(2)&=2\cdot 2 \\\\ &=4\end{aligned}
Also f(2)+g(2)=3+4=7f(2)+g(2)=3+4=\greenD7.
Beachte, dass die direkte Ersetzung der x=2x=2 in die Funktion hh und die Ermittlung von f(2)+g(2)f(2) + g(2) uns das gleiche Resultat zurückgeben.

Lass uns nun einige Übungsaufgaben in Angriff nehmen.

In den Aufgaben 1 und 2, ist f(x)=3x+2f(x)=3x+2 und g(x)=x−3g(x)=x-3.

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Eine grafische Verbindung

Wir können auch verstehen, was es bedeutet zwei Funktionen zu addieren indem wir die Graphen der Funktion ansehen.
Die Graphen von y=m(x)y=m(x) und y=n(x)y=n(x) werden unten gezeigt. Im ersten Graph, siehst du, dass m(4)=2m(4)=2. Im zweiten Graph, siehst du, dass n(4)=5n(4)=5.
Sei p(x)=m(x)+n(x)p(x)=m(x)+n(x). Nun betrachten wir den Graphen von y=p(x)y=p(x). Beachte dass p(4)=2+5=7p(4)=\blueD 2+\maroonD 5=\purpleD7.
Fordare dich selbst heaus, um zu sehen, dass p(x)=m(x)+n(x)p(x) = m(x) + n(x) für jeden Wert von xx, indem du die drei Graphen betrachtest.

Üben wir.

Aufgabe 3

Die Graphen von y=f(x)y=f(x) und y=g(x)y=g(x) werden unten gezeigt.

Andere Möglichkeiten Funktionen zu kombinieren

Alle Beispiele, die wir bis jetzt gesehen habe, schaffen eine neue Funktion durch die Summe zweiter Funktionen. Aber du kannst zwei Funktionen auch subtrahieren, multiplizieren und dividieren um neue Funktionen zu erzeugen!
Wenn zum Beispiel f(x)=x+3f(x)=x+3 und g(x)=x−2g(x)=x-2, dann können wir nicht nur die Summe bestimmen , sondern auch...
... die Differenz.
f(x)−g(x)=(x+3)−(x−2)       Substituieren.=x+3−x+2             Negatives Vorzeichen verteilen.=5                                  Kombinieren gleichartiger Terme.\begin{aligned}f(x)-g(x)&=(x+3)-(x-2)~~~~~~~\small{\gray{\text{Substituieren.}}}\\\\ &=x+3-x+2~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Negatives Vorzeichen verteilen.}}}\\\\ &=5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Kombinieren gleichartiger Terme.}}}\end{aligned}
... das Produkt.
f(x)⋅g(x)=(x+3)(x−2)            Substituieren.=x2−2x+3x−6        Distribute.=x2+x−6                   Kombinieren gleichartiger Terme.\begin{aligned}f(x)\cdot g(x)&=(x+3)(x-2)~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Substituieren.}}}\\\\ &=x^2-2x+3x-6~~~~~~~~\small{\gray{\text{Distribute.}}}\\\\ &=x^2+x-6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Kombinieren gleichartiger Terme.}}}\end{aligned}
... und der Quotient.
f(x):g(x)=f(x)g(x)=(x+3)(x−2)                     Substituieren.\begin{aligned}f(x)\mathbin{:} g(x)&=\dfrac{f(x)}{g(x)} \\\\ &=\dfrac{(x+3)}{(x-2)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{Substituieren.}}} \end{aligned}
Indem wir das so machen, haben wir drei neue Funktionen geschaffen!

Challenge Aufgabe

p(t)=t+2p(t) = t + 2
q(t)=t−1q(t) = t - 1
r(t)=tr(t) = t
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